圓與球面(復習教材)

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1、圓與球面復習講義第十單元圓1.定義:平面上與一定點等距離的所有點所成的集合2.標準式:設圓C的圓心坐標為(h,k),半徑為r,則圓C的方程式為(x-h)2+(y-k)2=r23.直徑式:設(x1,y1),(x2,y2)為圓C的一直徑兩端點,則圓C的方程式為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=04.一般式:圓的方程式必可表為x2+y2+dx+ey+f=0(Note:二元二次方程式x2+y2+dx+ey+f=0不一定是圓)5.參數式:在圓x2+y2=r2上的動點可假設為在圓(x-h)2+(y-k)2=r2上的動點可假設為

2、圓與球面例1.求以P1(1,1),P2(3,5)為直徑的圓方程式Ans:例2.設一圓通過(1,0),(3,4)兩點,且圓心在直線3x-4y-8=0上求(1)圓心(2)半徑Ans：（1）(4,1)（2）例3.設A(1,4),B(3,-2)為平面上兩點，若為圓上一弦且距圓心，求圓方程式Ans：(x-5)2+(y-2)2=20或(x+1)2+y2=20例4.求過點(5,1),(2,4)且半徑為3之圓方程式Ans：例5.設圓x2+y2+2x+4y-1=0交x軸於A,B兩點,求以為直徑之圓方程式Ans：x2+y2+2x-1=0例6.求通過(1

3、,1),(1,-1),(-2,1)三點的圓方程式,並求其圓心及半徑Ans：例7.已知方程式的圖形為圓,(1)求的範圍(2)當此圓的半徑最大時，求數對Ans：(1)–1

4、(x-h)2+(y-k)2=r2則點P(x0,y0)在圓C的內部點P(x0,y0)在圓C的外部(2)設圓C:x2+y2+dx+ey+f=0則點P(x0,y0)在圓C的內部點P(x0,y0)在圓C的外部2.圓與直線的相交情形:設圓C:(x-h)2+(y-k)2=r2,直線L:ax+by+c=0<幾何觀點>圓心C(h,k),則d(C,L)r圓C與直線L不相交<代數觀點>解方程組方程組有兩相異實數解圓C與直線L交於兩相異點方程組有兩相等實數解圓C與直線L相切方程組無

5、實數解圓C與直線L不相交3.圓的切線:(1)已知圓x2+y2+dx+ey+f=0上一點P(x0,y0),則過P點之切線方程式為(2)已知圓外一點P1(x1,y1),則過P1點之切線有二條,可設切線y-y1=m(x-x1),求m(Note:若m只有一解,則另一切線為x=x1)(3)已知切線斜率為m時,可設切線y=mx+k,求k例1.在坐標平面上畫出不等式的圖形,並求其面積Ans:105圓與球面復習講義例2.在坐標平面上畫出不等式的圖形,並求其面積Ans：例3*.求坐標平面上(

6、x

7、-1)2+(

8、y

9、-2)2=5的圖形所圍出的區域面積A

10、ns：例4.圓C:x2+y2-4x-2y+4=0,直線L:x-y-2=0,問L和C是否相交?如果相交,求交點Ans：是,(2,0),(3,1)例5.設直線L:y=mx+2及圓C:x2+y2=1,就m值討論直線L與圓C的關係Ans：(1)時,L與C不相交;(2)時,,L與C相切;(3)時,L與C交於兩點例6.設直線L:y=2x+k及圓C:x2+y2=1,就k值討論直線L與圓C的關係Ans：(1)時,L與C不相交;(2)時,,L與C相切;(3)時,L與C交於兩點例7.設圓x2+y2+4x-6y-12=0,求下列各切線方程式(1)過圓上一

11、點(1,-1)(2)過圓外一點(3,6)(3)已知斜率為2Ans：例8.求平行且與相切的直線方程式Ans：or例9.求通過P(4,3)與圓相切的直線方程式Ans：or例10.直線5x-y-a=0與圓3x2+3y2-2x+4y+b=0切於點(c,-1),求a,b,c值Ans:a=11,b=-7,c=2例11.求與兩線x+5y-4=0,x+5y=12相切,且圓心在x-2y=1之圓方程式Ans:例12.求切直線y=x並過(2,0),(4,0)兩點之圓方程式Ans:(x-3)2+(y-1)2=2或(x-3)2+(y+7)2=50例13.求半

12、徑,與直線2x-3y+1=0相切於(1,1)之圓方程式Ans:(x-3)2+(y+2)2=13或(x+1)2+(y-4)2=13例14.自圓(x-1)2+(y+2)2=9外一點P(2,3)作切線,求切線段長Ans:例15.一圓105圓