高中理科数学必做100题-必修1

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1、001.试选择适当的方法表示下列集合：（1）函数的函数值的集合；（2）与的图象的交点集合.解：（1），故所求集合为.（2）联立，解得，故所求集合为.002.已知集合，，求、、、.解：∵，，，，∴，，，.003.设全集，，.求（1），，，；（2），，，；（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.解：（1），，，.（2），，，.（3），.004.设集合，.（1）求，；（2）若，求实数a的值；（3）若，求的真子集个数及写出满足条件的所有可能的集合P.解：（1）①当时，，，故，；②当时，，，故，；③当且时，，，故，.（2）由（1）知，若，则或4.

2、（3）若，则，，故，此时的真子集有7个.又，满足条件的所有集合有、.005.已知函数.（1）求的定义域与值域（用区间表示）；（2）求证在上递减.解：（1）要使函数有意义，则，解得.所以原函数的定义域是.，所以值域为.（2）在区间上任取，且，则，，，又，，，，函数在上递减.006.已知函数，（1）求的值；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求出函数的单调区间.解：（1）当，即时，；同理，当，即时，，∴.（2）当时，则，那么；当时，则，那么；又当时，则；∴函数在上是偶函数.（3）当时，则，∴函数在上递减，在上递增。∵函数在上是偶函数，∴函数在上递减，在上递增。0

3、07.已知函数其中．（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）求使成立的的集合.解：（1）.若要上式有意义，则，即.∴所求定义域为.（2）设，则∴是偶函数.（3），即，.当时，上述不等式等价于，解得.当时，原不等式等价于，解得.综上所述,当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.008.对于函数.（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数a使得为奇函数.解:(1)判断函数在上是增函数.的定义域为R，设，则=,,,即,∴不论为何实数总为增函数.（2）假设存在实数a使为奇函数,当且仅当，即,∴，∴存在实数使得为奇函数.009.（1）已知函数

4、图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点.x－2－1.5－1－0.500.511.52f(x)－3.511.022.371.56－0.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范围.解：（1）∵，，，∴函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点.（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).所以，即，解得，∴所求的取值范围是．010.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下表：销售单价/元50515253545556日均

5、销售量/个48464442403836为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为个.∵，且，∴.则日均销售利润为.易知，当，y有最大值.∴为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理.011.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层.臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量.（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？解：（1）∵，，，∴为减函数.∴随时间的增加，臭氧的含量是减少.（2）设

6、x年以后将会有一半的臭氧消失，则，即，两边取自然对数得，，解得.∴287年以后将会有一半的臭氧消失.012.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据.用一个函数模拟产品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数（其中为常数，且）或指数型函数（其中为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.解：当选用二次函数的模型时，∵，由，得，解得，∴，.当选用指数型函数的模型时，∵由得，解得，∴，.∴根据4月份的实际产量为1.37万

7、件可知，选用作模拟函数较好.013.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为.试求函数的解析式，并画出函数的图象.xyOBAx=t解：（1）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，，.（2）当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，（3）当时，.∴函数的解析式为.函数的图象为014.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾

8、病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？