年高考数学复习专题十五《数形结合》

《年高考数学复习专题十五《数形结合》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题十三数形结合的思想【考点聚焦】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。【自我检测】1方程sin(x–)=x的实数解的个数是(B)A2B3C4D52.（2005福建）设的最小值是（C）A．B．C．－3D．3已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为()Aα＜a＜b＜β

2、Bα＜a＜β＜bCa＜α＜b＜βDa＜α＜β＜b4.(2006年湖南）若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是(B)A.[]B.[]C.[D.【重点难点热点】问题1利用函数的图象、方程的图形数形结合例1．在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（）＞恒成立的函数的个数是（B）A．0B．1C．2D．3【解析】用图像法，只有上凸函数才满足题意，即只有y=log2x才满足上式，故选B．例2已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直

3、线y=x的两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．【分析】用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．【解】（1）由已知，设f1（x）=bx2，由f1（x）=1，得b=1．∴f1（x）=x2．设f2（x）=（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（k，k），B（－k，－k），由

4、AB

5、=8，得k=8，∴f2（x）=，故f（x）=x2+．（2）由f（x）=f（a），得x2+=a2+，即=－x2+a2+．在同一坐标系内作出f2

6、（x）=和f3（x）=－x2+a2+的大致图象（如图所示），其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3（x）的图象是以（0，a2+）为顶点，开口向下的抛物线．f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）有一个负数解．又∵f2（2）=4，f3（2）=－4+a2+，当a＞3时，f3（2）－f2（2）=a2+－8＞0，∴当a＞3时，在f3（x）第一象限的图象上存在一点（2，f3（2））在f2（x）图象的上方．∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．故方程f（x

7、）=f（a）有三个实数解．【评析】用数形结合思想，可把一个较复杂的问题转化为一个较简单的问题．演变1：函数f（x）=sinx+2

8、sinx

9、，x∈［0,2］的图象与直线y=k有且仅有2个不同的交点，则k的取值范围。(1

10、sinx

11、，x∈［0,2］=问题2利用方程的图形数形结合例3：分析：，选D演变1.分析：构造直线的截距的方法来求之。截距。问题3利用几何意义转化、构造例4．已知α、β、γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求证：tanα+tanβ+tanγ≥。命题意图：本题主要考查三角——几何——代

12、数间的转化，以及代数不等式的证明。证明：由已知条件作长方体ABCD—A1B1C1D1，如图，使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ，设AD=a，AB=b，AA1=c，则：tanα=，tanβ=，tanγ=tanα+tanβ+tanγ=≥≥故tanα+tanβ+tanγ≥点评：(1)还可将已知条件改为sin2α+sin2β+sin2γ=2；(2)运用此模型，还可设α、β、γ分别为AC1与C1B、C1A1、C1D所成的角，则cos2α+cos2β+cos2γ=2(或sin2α+sin2β+sin2γ=1)。例5．求函数的最大值。解：由定义知1-x2≥0且

13、2+x≠0∴-1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程，θ∈[0，π]，即x2+y2=1（y∈[0，1]是半圆。设切线为AT，T为切点，

14、OT

15、=1，

16、OA

17、=2∴，∴0≤kAM≤即函数的值域为[0，]，故最大值为。点评：1、有些代数式经变形后具备特定的几何意义，此时可考虑运用数形结合求解，如：比值——可考虑与斜率联系；根式——可考虑与距离联系；二元一次式——可考虑与直线的截距相联系。2、本题也可如下转化：令Y=，X=2+x，则(X+2)2+Y2=

18、1（Y≥0），求的最大值