【北师大版】数学必修2精品讲学案：1.6-垂直关系

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1、第1课时　垂直关系的判定[核心必知]1．直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直3.二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．(3)二面角的记法．如

2、图，记作：二面角αABβ.(4)二面角的平面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角．如图二面角α－l－β，若有①O∈l.②OAα，OBβ.③OA⊥l，OB⊥l.则∠AOB就叫作二面角α－l－β的平面角．4．两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)两个平面互相垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过

3、另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直[问题思考]1．若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：不一定垂直．例如，a1∥a2∥a3∥…，且a1，a2…α，l与这组平行直线垂直．有可能直线l在这个平面内或与平面斜交．2．在直线与平面垂直的判定定理中为什么强调一个平面内的两条相交直线？提示：(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想．(2)两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直

4、线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递性，直线垂直于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直．如图：aα，bα，a∥b，l⊥a，l⊥b，但l不垂直于α.3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时，AD才与桌面所在的平面垂直．讲一讲1．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．

5、证明：PC⊥平面BEF.[尝试解答]　证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，∴EF⊥PC.又BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①面内的两条相交直线；②都垂直．(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的

6、．练一练1．如图，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.又∵SB＝SA，SD＝SD，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵BA＝BC，D为AC中点，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．∴B

7、D⊥平面SAC.讲一讲2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°.求证：平面ABC⊥平面BSC.[尝试解答]　证明：法一：取BC的中点D，连接AD、SD.∵∠ASB＝∠ASC＝60°，且SA＝SB＝SC，∴AS＝AB＝AC.∴AD⊥BC.又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角三角形，∴BD＝SD.∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2.由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD.又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.又AD平面

8、ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.法二：同法一证得AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS即为二面角ABCS的平面角．∵∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝，AD＝，∴SD2＋AD2＝SA2.∴∠ADS＝90°.∴平面ABC⊥平面BSC.常用的两个平面互相垂直的判定方法：(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．对于判定定理，可简述为“线面垂直