高中数学 1.2.2空间中的垂直关系（2）学案 北师大版必修2

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1、辽宁省丹东市振安区高级中学高中数学1.2.2空间中的垂直关系（2）学案北师大版必修2自主学习学习目标1．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理，判定两个平面互相垂直．2．掌握两个平面垂直的性质定理，并能利用该定理作平面的垂线．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．自学导引1．如果两个相交平面的交线与第三个平面______，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相______，就称这两个平面互相垂直．2．如果一个平面过另一个平面的__________，则两个平面互相垂直．3．如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_____

2、___的直线垂直于另一个平面．对点讲练知识点一　面面垂直的证明例1　如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.点评　将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键，另外利用面面垂直的定义求二面角的平面角是90°(如例1)．变式训练1　如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD.知识点二　面面垂直的性质定理的应用例2　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱

3、形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.点评　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．变式训练2　如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．

4、求证：平面EDB⊥平面ABCD.知识点三　线线、线面、面面垂直的综合应用例3　如图所示，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．点评　证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面，有时需考虑多种情况的综合．在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．变式训练3　在直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中

5、，AB＝BC.能否在侧棱BB1上找到一点E，使得截面A1EC⊥侧面AA1C1C？若能找到，指出点E的位置；若不能找到，说明理由．1．面面垂直的证法(1)定义法；(2)判定定理法．2．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理．至此判定线面垂直的方法主要有以下五种：(1)线面垂直的定义；(2)线面垂直的判定定理；(3)面面垂直的性质定理；(4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面，b⊥α.(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面，a⊥β.课时作业　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、选

6、择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则(　　)A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交D．以上都有可能2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有(　　)A．0条B．1条C．2条D．无数条3．已知m、n为不重合的直线，α、β、γ为不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)A．m⊥α，nβ，m⊥nα⊥βB．α⊥γ，β⊥γα∥βC．α∥β，m⊥α，n∥βm⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，n⊥mn⊥β4.如图所示，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则在平面PAB、平面PAD、平面PCD、平面PBC及平面ABCD中，互相垂直的有(　　)A

7、．3对B．4对C．5对D．6对5.如图所示，在立体图形D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE题　号12345答　案二、填空题6．已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；③若lβ，且l⊥α，则α⊥β；④若mα，lβ，且α∥β，则l∥m.其中正确的命题的序号是_____

8、___．7．空间四边形VABC的各边及对角线均为1，M是VB的中点，则平面ACM与平面VAB的