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1、代数综合题2010年5月1.已知关于x的方程①。（1）求证：对于任意实数，方程①总有两个不相等的实数根；（2）如果a是关于的方程②的根，其中，、为方程①的两个实数根，且，求代数式的值。答案：2．已知关于x的一元二次方程（）①.（1）若方程①有一个正实根c，且.求b的取值范围；（2）当时，方程①与关于x的方程②有一个相同的非零实根，求的值.解：（1）∵c为方程的一个正实根（），∴.1分∵,∴，即.2分∵，∴.解得．3分又（由，）．∴．解得．∴．4分（2）当时，此时方程①为.设方程①与方程②的相同实根为m，∴③∴④④－③得.整理，得.∵m≠0，∴.解得.5分把代入方程③得.1
2、5∴，即.当时，.7分解法二：解关于b、c的方程组③④可以解得：，可以求出．3．当k是什么整数时,方程(k2–1)x2–6(3k–1)x+72=0有两个不相等的正整数根？答案：k=24.关于x的一元二次方程与的根都是整数，求m的整数值,并求出两方程的整数根.答案：当m=1时，x=0,1,–1,5;当m=–1时，x=0,–3,–1,–35.若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的两实数根为x1、x2，且x1＋x2=,x1·x2=,两实数根的倒数和是S.求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围.解：（1）b2－4ac=－12m＋9≥0∴m≤………………………
3、………1分又∵m2≠0∴m≤且m≠0…………………………2分（2）S=＋==2m－3∴m=即≤∴S≤－…………………………3分又∵m≠0即≠0∴S≠－3∴S≤－且S≠－3……………………4分6．已知关于x的方程，其中a、b为实数.（1）若此方程有一个根为2a（a＜0），判断a与b的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a，此方程都有实数根，求b的取值范围.答案：（1）∵方程有一个根为2a，15∴.-----------------------------------1分整理，得.------------------------------------------2分∵，
4、∴，即.-----------------------------3分（2）.--------------------------4分∵对于任何实数此方程都有实数根，∴对于任何实数都有≥0，即≥0.-----5分∴对于任何实数都有b≤.∵，当时，有最小值.---------------------------6分∴b的取值范围是b≤.-----------7分7.关于x的方程有两实根x1和x2，关于y的方程有两实根y1和y2，且，当时，求m取值范围.答案：且m≠08.已知x1，x2是关于x的方程（x–2）（x–m）=（p–2）（p–m）的两个实数根．（1）求x1，x2的值
5、；（2）若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．答案：（1）原方程变为：x2－（m+2）x+2m=p2－（m+2）p+2m，∴x2－p2－（m+2）x+（m+2）p=0，（x－p）（x+p）－（m+2）（x－p）=0，即（x－p）（x+p－m－2）=0，∴x1=p，x2=m+2－p．（2）∵直角三角形的面积为===，15∴当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．9.已知抛物线．（1）求证抛物线与轴有两个不同的交点；（2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；解：
6、（1）证明：令，则.因为=，………………………………………………1分所以此抛物线与x轴有两个不同的交点.………………………………2分（2）因为关于x的方程的根为，由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点.设（其中n为整数），………………………………3分则因为与的奇偶性相同，所以或解得.经过检验，当时，方程有整数根.所以.………………………………………………………………5分10.已知点A（－1，－1）在抛物线上,点B与点A关于抛物线的对称轴对称,（1）求的值和点B的坐标；（2）是否存在与此抛物线仅有一个公共点B的直线?如果存在,求出符合条件的直线的解析
7、式;如果不存在,简要说明理由.解：(1)根据题意,将x＝－1,y＝－1,代入抛物线的解析式,得15解得由于,所以.………………………………1分.抛物线的解析式是,对称轴为直线.点B和点A(－1,－1)关于直线对称,.………2分.(2)存在.………………………………3分.理由如下：设经过点B的直线的解析式是,将B点坐标代入得.①又要使直线与抛物线只有一个公共点,只要使方程有两个相等的实数根,方程整理得,,得=②将①代②，解出，,它的解析式是.…………4分.又有过点B,平行于轴的直线与抛物线仅有一个公共点,即.……5分.答：直线的
