湖南省永州市祁阳县第四中学2022-2023学年高二上学期期中数学（解析版）.docx

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祁阳四中2022年高二年级下期期中考试数学试题时间：120分钟分值：150一、单选题（共40分）1.已知点是点在坐标平面内的射影，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据射影定义可得点坐标，由向量模长运算可得结果.【详解】是在坐标平面内射影，，.故选：C.2.直线的倾斜角为（）A.45°B.30°C.60°D.120°【答案】C【解析】【分析】首先通过直线方程求出直线斜率，进而求出直线倾斜角.【详解】已知直线的斜率为，由于直线倾斜角的取值范围是，故该直线的倾斜角为60°.故选：C.3.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（）A.相离B.外切C.相交D.内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，∴，而，∴两圆的位置关系为内切． 故选：D．【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．4.如图所示，已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】连接，先根据已知条件表示出，再根据求得结果.【详解】连接，如下图所示：因为为的中点，所以，又因为为的中点，所以，所以，故选：A.5.已知，若三向量共面，则实数等于（）A1B.2C.3D.4【答案】A【解析】 【分析】根据向量共面列方程求解即可.【详解】因为、、三向量共线，所以，即，整理得，解得.故选：A.6.已知直线与平行，则的值是（）A.1B.2或5C.5D.1或2【答案】B【解析】【分析】讨论，结合两直线的位置关系求值，注意验证所求的值保证两线平行而不能出现重合的情况.【详解】由平行条件可知，当时，，解得；当时，解得，此时，两条直线也平行；所以或.故选：B.7.若两直线，的倾斜角和斜率分别为，和，，则下列四个命题中正确的是A.若，则B.若，则C若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可求解.【详解】令，，则，，，故A错误；令，，，则，，，故C错误；令，则､不存在，故B错误；由知，，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了基本知识，属于基础题.8.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则错误的是（） A.点的坐标为B.点P的轨迹方程C.D.的最大值为【答案】B【解析】【分析】求出直线恒过的定点可判断A，由已知可得两条直线互相垂直，由此可验证B、C，由已知可得，设，进而求出的最大值，即可判断D．【详解】由动直线，得，所以定点，故A正确；由动直线，可得，由和，满足所以，可得，所以，故C正确；设，则，即点P的轨迹方程为，而与，不重合，则，故B错误；因为，设，为锐角，则，，所以，所以当时，取最大值，故D正确．故选：B．二、多选题（共20分）9.已知向量，则与共线的单位向量（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据与，直接可得解.【详解】由，得，所以当与同向时，， 当与反向时，，故选：AD.10.下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B.不相等的两个空间向量的模可能相等C.模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量D.若是两个不共线的向量，且（且），则构成空间的一个基底【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量的概念、向量相等，向量的模，空间向量的基底逐项判断即可得解.【详解】因为三个非零向量能构成空间一个基底，故三个向量不共面，故A正确；向量既有大小又有方向，所以不相等的两个空间向量的模可能相等，故B正确；因为向量既有大小又有方向，所以向量不能比较大小，故C错误；由是两个不共线的向量，且（且）可知，向量与向量共面，所以不能构成空间向量的一组基底，故D错误.故选：AB11.下列说法中不正确的是（）A直线与y轴交于一点，其中截距B.过点，且斜率为4的直线方程为C.在x轴和y轴上的截距分别为a与b的直线方程是D.方程表示过点，的直线【答案】ABC【解析】【分析】对A，由截距可以为负判断；对B，直线不包括点；对C，直线不包括截距为0的情况；对D，方程为两点式方程的变形.【详解】对A，截距可以为负，A错；对B，该方程不包括点，B错；对C，截距为0时，不能表示成，C错； 对D，为两点式方程的变形，D对.故选：ABC12.下列结论正确的是（）A.点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为m>－3B.光线由点P（2，3）射到x轴上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在直线方程是C.四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）在同一个圆上D.若圆与圆关于直线x＋y＝0对称，则圆的方程为【答案】BD【解析】【分析】根据圆的方程的性质与点与圆的位置关系列不等式求m的取值范围，判断A；求点P（2，3）关于x轴的对称点，利用点斜式求反射直线方程，判断B；求过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程，判断点（－1，1）与圆的位置关系，判断C；求对称圆的圆心，再求圆的方程，判断D.【详解】因为表示圆C的方程，所以，所以或，又点A（1，2）在圆C：外，所以，解得，所以或，A错；设点P（2，3）关于x轴的对称点为点，则点的坐标为，由光学性质可得点，Q（1，1）都在反射直线上，所以反射直线的斜率，所以反射直线的方程为，即，B对；设过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，由已知可得，解方程可得，所以过点（0，0），（4，0），（4，2）的圆的方程为，又，所以点在圆外，所以四个点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）不在同一个圆上，C错；设圆的圆心为，半径为，由已知的坐标为，，因为圆与圆关于直线x＋y＝0对称，所以点与点关于直线x＋y＝0对称，且圆的半径为1，设圆的方程为，由已知可得且，所以，，所以圆的方程为，即，D对；故选：BD.三、填空题（共20分） 13.若直线的倾斜角的变化范围为，则直线斜率的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】根据正切函数的单调性求解.【详解】因为正切函数在上单调递增，所以，当时，，所以斜率【点睛】本题考查直线的斜率和正切函数的单调性，属于基础题.14.已知向量，，且与互相垂直，则______.【答案】1【解析】【分析】利用向量垂直满足数量积为0，代入坐标，建立等式，即可得出答案．【详解】向量，，且与互相垂直，所以，解得，故答案为：115.已知，方程表示圆，则圆心坐标是______.【答案】【解析】【分析】先根据二次方程表示圆的必要条件平方项的系数相等，求得m的值，然后再利用配方法检验即可.【详解】由题意得，解得或2.当时，方程为，即，圆心为；当时，方程为，即，不表示圆.故答案为：16.在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、 三点，则圆的面积最小值为_________.【答案】【解析】【分析】要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，再求出的中垂线方程，设设圆心坐标为，根据，得到，参变分离求出的最小值，即可求出，从而求出面积最小值.【详解】解：要使圆的面积尽可能小，则点位于第一象限，设，又，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，不妨设圆心坐标为，圆的半径为，所以，即，则，所以，所以，当且仅当即时取等号，所以，所以圆的面积最小值为，此时；故答案为：四、解答题（共70分）17.已知长方体中，是对角线中点，化简下列表达式： （1）；（2）.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根据向量加法法则求解即可；【小问1详解】【小问2详解】18.在中，，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线在y轴上截距为1，直线的倾斜角为.求：（1）直线的方程；（2）的面积S.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）应用两点式求直线，点斜式求直线；（2）由（1）得、、，进而可得的面积，即可求结果.【小问1详解】因为直线在y轴上的截距为1，所以其过点，所以直线的方程为：，化简得. 由己知直线的斜率为：，所以直线的方程为：，化简得.【小问2详解】由（1）知：直线为，令，得，故.直线为，令，得，故，所以.19.如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求AE的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据空间向量运算求得正确答案.（2）结合（1）利用平方的方法，结合向量运算求得正确答案.【小问1详解】【小问2详解】由（1）得，两边平方得，所以.20.如图，在正方体ABCD-A1B2C3D4中，E，F，G，H分别是AB，BC，CC1，DD1的中点． （1）证明：平面B1EF⊥平面ABGH．（2）若正方体的棱长为1，求点D1到平面B1EF的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间向量法向量的垂直即可证明，（2）根据空间向量的点面距公式即可求.【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体棱长为1，则,所以,设平面的法向量为，所以，取，则，故；由,设平面的法向量为，所以，取，则，故由于，所以，因此平面B1EF⊥平面ABGH 【小问2详解】，则,设点D1到平面B1EF的距离为，则，21.已知：.（1）若直线：与交于，两点，且以为直径的圆过原点，求实数的值；（2）过点作直线交于，两点，若，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知得，联立直线与圆的方程，结合韦达定理即可求解.（2）首先设直线，与圆联立，并且得到根与系数的关系，由条件可知，利用消参可求得直线的斜率.【小问1详解】设，，联立，整理得，显然，由韦达定理知：，，因为为直径的圆过原点，即，故，又因为，所以，即，解得. 【小问2详解】设，，联立，整理得，由韦达定理知，，，，得，两式消去，得，所以，解得：.即直线的斜率.