江苏省盐城市建湖高级中学2023-2024学年高二下学期期初测试（2月）数学 Word版含解析.docx

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2023级高二春学期期初测试（2月）数学试题总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角等于（）A.B.C.D.2.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.3.设为等差数列的前项和，若，，则（）A.26B.27C.28D.294.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（）A.15里B.12里C.9里D.6里5.已知M是抛物线上的一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM为终边的角，则等于（）A.16B.20C.4D.86.已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（　　）A.B.C.D.27.已知，若关于x的方程在上有根，则实数的取值范围是（）AB.C.D. 8.已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（）A.的取值范围是B.是极小值点C.当时，D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）A.B.（其中且）C.D.10.已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（）A.椭圆的长轴长为8B.满足面积为4的点恰有2个C.的的最大值为16D.直线与直线斜率乘积为定值11.已知函数，函数，下列结论正确的是（）A.有2个零点B.若，则有4个零点C.若只有1个零点，则m的取值范围是D.若恰有5个零点，则m的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.____13.设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得 的值为______.14.设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题.（1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.16.已知圆C经过P（4，–2），Q（–1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为，半径小于5．（1）求直线PQ与圆C的方程．（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．17.已知数列的前n项和.（1）求通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n，恒成立，求证：.18.已知函数.（1）求在上最大值；（2）若关于不等式恒成立，求的取值范围.19.在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左､右顶点，且直线与直线的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，（i）证明：为直角三角形； （ii）若的面积为，求直线的斜率. 2023级高二春学期期初测试（2月）数学试题总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将直线的一般式改成斜截式，根据倾斜角和斜率的关系，即可求出结果.【详解】由题意可知，所以直线的斜率为，又，所以直线的倾斜角为.故选：A.2.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据焦点到渐近线的距离求得关于的表达式，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线为，焦点为，焦点到渐近线的距离为，所以， 由于，所以故选：C3.设为等差数列的前项和，若，，则（）A.26B.27C.28D.29【答案】B【解析】【分析】由，求出公差，该根据等差数列前项和公式求出.【详解】因为，，所以，解得，所以，故选：B.4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（）A.15里B.12里C.9里D.6里【答案】D【解析】【分析】由题意每天行程是公比为的等比数列，应用等比数列前n项和公式求首项，再由通项公式求最后一天走的路程.【详解】由题设，每天行程是公比为的等比数列，所以，可得，故里.故选：D5.已知M是抛物线上一点且在x轴上方，F是抛物线的焦点，以为始边，FM 为终边的角，则等于（）A.16B.20C.4D.8【答案】A【解析】【分析】作出抛出线与焦半径及辅助线，利用直角三角形角所对的边等于斜边的一半及抛物线的定义，得到关于的方程，从而求得的值.【详解】如图所示，抛物线的准线与轴相交于点，作于，过作于，因为，所以，设，在中，，显然，又由抛物线的定义得，所以，解得：，即.故选：A.6.已知圆O：，过直线l：在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（　　）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】设,利用圆切线的性质，得到切点弦所在直线方程，然后求出，写出面积表达式，利用基本不定式得到其最小值.【详解】设,则, 设当时，，所以切线方程为，两边同乘得，即，而，代入得，显然当或时也适合，所以切线方程为，同理将的坐标代入上述直线方程,则有，于是直线的方程为,分别令，易得，则，的面积为,当且仅当结合，即时取等号.所以面积的最小值为.故选：B.【点睛】对于圆心在原点的圆上某点的切线方程结论为，过圆心在原点的圆的圆外一点作圆两条切线，其切点弦所在直线方程为 ，两者形式相同，但意义不同，最后得到直线方程，求出其面积表达式，利用基本不等式求出最值，如果能记住相关结论，对这道选择题来说将会大有裨益.7.已知，若关于x的方程在上有根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分离参数构造新函数，将问题转换为求的值域即可.【详解】若，则由题意方程在上有解，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，而，所以当时，，综上所述，实数的取值范围是.故选：A.8.已知函数有两个不同的极值点,则下列说法不正确的是（）A.的取值范围是B.是极小值点C.当时，D.【答案】A【解析】【分析】由题意得方程在上有两根，构造函数，求导得出的单调性，由此即可进一步得出的最值，的范围，由此即可判断A，对于BC，由A选项分析可得，由此即可进一步得出的单调性即可判断；对于D，由变形即可判断. 【详解】令，由题意方程在上有两根，设，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，当时，，当时，，所以的取值范围是，故A符合题意；由A选项分析可知，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是极小值点，故BC不符合题意；对于D，因为，所以，故D不符合题意.故选：A.【点睛】关键点点睛：判断A选项的关键是得出，当时，，当时，，由此即可顺利得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.若为等比数列，则下列数列中是等比数列的是（）A.B.（其中且） C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据给定条件，利用等比数列定义直接判断作答.【详解】因为等比数列，设其公比为，则有，对于A，是非零常数，数列是等比数列，A是；对于B，且，是非零常数，数列是等比数列，B是；对于C，是非零常数，是等比数列，C是；对于D，显然，为等比数列，而，数列不是等比数列，D不是.故选：ABC10.已知椭圆E：，，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点是椭圆上异于A，B的一个动点．下列结论中，正确的有（）A.椭圆的长轴长为8B.满足的面积为4的点恰有2个C.的的最大值为16D.直线与直线斜率乘积为定值【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的方程得到，进而判断选项；根据三角形面积求出点的纵坐标的绝对值，进而判断选项；结合椭圆的定义和基本不等式即可判断选项；设出点的坐标，代入计算整理即可判断选项.【详解】由椭圆方程可得：. 对于，因为椭圆的长轴长，故选项正确；对于，因为，则，，所以，所以这样的点不存在，故选项错误；对于，由椭圆的定义可得：当且仅当等号成立，则，所以的的最大值为，故选项正确；对于，设点，则，则有，又因为，所以，故选项错误，故选：.11.已知函数，函数，下列结论正确的是（）A.有2个零点B.若，则有4个零点C.若只有1个零点，则m的取值范围是D.若恰有5个零点，则m的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】利用导数，确定时函数单调性，并作出函数的图象，结合图象分及讨论即可得答案.【详解】当时，，所以，当时，单调递增；当时，单调递减，所以当时，取极大值，，，，，，，， 的图象如图所示：由图可知有2个零点，则A正确；设，由，得，当时，的解是，所以有2个不同实根，有2个不同实根，则有4个不同实根，故B正确；当时，有3个不同实根，设．有2个不同实根，有2个不同实根，有3个不同实根，则有7个不同实根；当时，有2个不同实根，设，有2个不同实根，有3个不同实根，则有5个不同实根；当时，有2个不同实根，设，有2个不同实根，有2个不同实根，则有4个不同实根；当时，有且只有1个实根，且，当时，则有2个不同实根；当时，只有1个实根；当时，有且只有1个实根，且，则只有1个实根． 故C错误，D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.____【答案】【解析】【分析】讨论截距为0和不为0时，两种情况下直线方程的求法．【详解】当截距为0时，设，代入A（5，-2）解得，即当截距不为0时，设，代入A（5，-2）解得，即综上，直线方程为或【点睛】本题考查了直线方程中截距式的应用，关键是记住讨论截距是否存在才不会漏解，属于中档题．13.设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.【答案】11【解析】【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.【详解】因，设，则，故.故答案为：1114.设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】 【解析】【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为恒成立即，可得，令，则恒成立.又，故当时，，故在区间上为增函数.又恒成立，则在区间上恒成立，即，.构造，则，令有，故当时，，为增函数；当时，，为减函数.故，故，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在①是三次函数，且，，，，②是二次函数，且这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题. （1）求函数的解析式；（2）求的图象在处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】(1)根据所选条件，设出函数解析式，借助待定系数法求解即得；(2)利用(1)中函数，借助导数的几何意义求出切线l的方程即可计算作答.【详解】选①，（1）依题意，设，则，由已知得，解得，，，，所以函数的解析式是；（2）由(1)知，，，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.选②，（1）依题意，设，则，于是得：，化简得，因为上式对任意x都成立，所以，解得，，，所以函数的解析式为；（2）由(1)知，，则，又，则有切线l的方程为，当时，，当时，，所以切线l与两坐标轴围成的三角形的面积.16.已知圆C经过P（4，–2），Q（–1，3）两点，且在y轴上截得线段长为，半径小于5． （1）求直线PQ与圆C的方程．（2）若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，，求直线l的方程．【答案】（1）直线PQ的方程为：x–y–1=0；圆C的方程为：.（2）直线l的方程为.【解析】【分析】（1）由点斜式求出直线PQ的方程，求出PQ的中垂线，圆心C在中垂线上，设C（n，n–1），则，再代弦长公式得，解方程即可.（2）设l为，与圆C的方程联立，代韦达定理，因为，∴，代入计算求出m.【详解】解：(1)PQ为，C在PQ的中垂线即y=x–1上，设C（n，n–1），则,由圆C在y轴上截得的线段长为，有，∴∴n=1或5，=13或37（舍），∴圆C的方程为：.(2)设l为由，得，设A，B，则，∵，∴，∴，∴，∴m=3或–4（均满足），∴l为. 17.已知数列的前n项和.（1）求的通项公式；（2）若数列满足对任意的正整数n，恒成立，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用，进而求得答案；（2）根据题意先求出，然后根据（1）求出，进而通过基本不等式证明问题.【小问1详解】因为，所以当时，.当时，，满足.所以的通项公式为.【小问2详解】因为，所以当时，，所以，又时，，满足， 所以对任意正整数n，，由（1）得，，所以，当且仅当时等号成立.18.已知函数.（1）求在上的最大值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，由函数的单调性判断在上的单调性作答.（2）把给定不等式作等价变形，利用导数分段判断函数在，上值的符号即可作答.【小问1详解】由求导得：，令，有在上单调递减，且，当时，，即，则在上单调递增，所以.【小问2详解】依题意，，且，令，，有， ，令，，当时，由，得，则在上单调递增，又，则当时，，，不合题意，当时，在二次函数中，，当，即时，图象对称轴，图象与x轴正半轴有两个公共点，即有两个零点，且，不妨设，则时，，有，在上单调递增，当时，，，不合题意，当，即时，，有，则在上单调递减，当时，，，则，当时，，，则，综上得，当时，恒成立，所以k的取值范围是.【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.19.在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4，过坐标原点的直线交于两点，若分别为椭圆的左､右顶点，且直线与直线的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点在第一象限，轴，垂足为，连并延长交于点，（i）证明：为直角三角形；（ii）若的面积为，求直线的斜率. 【答案】19.20.证明见解析，【解析】【分析】（1）根据离心率以及斜率关系即可求解的值，（2）联立直线与椭圆方程，即可根据坐标运算得点坐标，由斜率公式即可求解，根据三角形的面积公式以及弦长公式，结合不等式以及对勾函数的单调性即可求解.【小问1详解】设，则，由题意可知，所以，即，可得，所以椭圆的方程为【小问2详解】（i）不妨设直线的方程为，联立，不妨设，所以， 所以直线的方程为，联立，设，则是上述方程两个根，所以，则，所以，所以,故为直角三角形，（ii）由（i）得，所以的面积为,由于得，所以，令，当且仅当时，取最小值2，所以，由于在上单调递增，所以当时，此时取最小值，所以此时，【点睛】 方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.