云南省昆明市五华区2023-2024学年高一上学期1月期末考试 数学 Word版含解析.docx

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昆明市五华区2023～2024学年上学期高一期末质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.已知角的终边过点，则的值为A.B.C.D.3.已知全集，，则（）A.B.C.D.4.已知，，，则（）A.B.C.D.5.已知：，：，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6已知函数，则（）A.时，是偶函数B.时，的值域为 C.图象恒过定点和D.时，是减函数7.已知函数在上的图象如图所示，则的解析式可以为（）A.B.C.D.8.已知正数，满足，则（）A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.为了得到的图象，只需把图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位C.向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变11.已知设函数则（） A.为奇函数B.当时，直线与的图象有两个交点C.若点在的图象上，则当时，D.函数有零点，则12.已知函数，则（）A.若，则有唯一零点B若，则有唯一零点C.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为D.若关于的方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13________.14.已知，则________.15.已知函数定义域为，且，，当时，，则________.16.水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数.（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.18.已知函数.（1）若，求；（2）若，均为锐角，且，求的取值范围.19.已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）记的最小值为，求的解析式.20.已知函数.（1）求的定义域，并证明是奇函数；（2）求关于的不等式的解集.21.已知函数.（1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.22.设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题： （1）分别求在区间、上的平均变化率；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【考试时间：1月11日8:00-10:00】昆明市五华区2023～2024学年上学期高一期末质量检测数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“，”为特称量词命题，其否定为：，.故选：D2.已知角的终边过点，则的值为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的广义定义可得的值. 【详解】因为，故选B.【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.3.已知全集，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依题意可得，，，再假设推出矛盾，即可得到，同理得到，，，即可得解.【详解】因为，，所以，，，，，，若，则，，所以，与题意矛盾，所以，同理可证，，，所以.故选：A4.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性并结合中间量“0”，“1”即可比较大小.【详解】，则，，则，故选：C.5.已知：，：，则是的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由，则或，即：或，所以由推得出，故充分性成立；由推不出，故必要性不成立，所以是的充分不必要条件.故选：B6.已知函数，则（）A.时，是偶函数B.时，的值域为C.的图象恒过定点和D.时，是减函数【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.【详解】对于A，当时定义域为，且，所以为偶函数，故A正确；对于B，当时，，则的值域为，故B错误；对于C，当时，定义域为，函数不过点，故C错误；对于D，当时，在上单调递增，故D错误；故选：A7.已知函数在上的图象如图所示，则的解析式可以为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】令，即可判断为奇函数，再根据奇偶性的性质判断各选项解析式的奇偶性，最后利用特殊值判断即可.【详解】令，则的定义域为且，所以为奇函数，又、为奇函数，、为偶函数，所以，均为偶函数，函数图象关于轴对称，不符合题意，故排除A、C；与为奇函数，若，则，不符合题意，排除B.故选：D8.已知正数，满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，令，，说明的单调性，即可得到，从而得解.【详解】因为正数，满足， 即，即，即，令，，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，即，所以.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】AD【解析】【分析】利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C，利用基本不等式判断D.【详解】对于A：若，则，所以，故A正确；对于B：当，时满足，但是，故B错误；对于C：当时满足，但是，故C错误；对于D：因为，所以，当且仅当，即时取等号，故D正确；故选：AD10.为了得到的图象，只需把图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位C.向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D.向右平移个单位，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数的变换规则一一判断即可.【详解】对于A：把图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，再将向右平移个单位得到，故A正确；对于B：把图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，再将向左平移个单位得到，故B正确；对于C：把图象上所有的点向右平移个单位得到，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，故C错误；对于D：把图象上所有的点向右平移个单位得到，再将横坐标缩短到原来，纵坐标不变得到，故D正确；故选：ABD11.已知设函数则（）A.为奇函数B.当时，直线与的图象有两个交点C.若点在的图象上，则当时， D.函数有零点，则【答案】BC【解析】【分析】首先写出解析式，即可画出函数图象，再数形结合即可判断.【详解】令，即，解得或，所以，所以的图象如下所示：由图可知为非奇非偶函数，故A错误；因为与平行，当时直线均与的图象有两个交点，故B正确；当时，所以若点在的图象上，则当时，，故C正确；函数有零点，即与有交点，由图可知或，故D错误；故选：BC12.已知函数，则（）A.若，则有唯一零点 B.若，则有唯一零点C.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为D.若关于的方程有且仅有一个实数根，则的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】令求出方程的解，即可判断A，分析恒成立，即可判断B，由由，可得或，结合C、D的条件得到不等式（组），解得即可.【详解】对于A：当时，令，即，又在定义域上单调递增且值域为，解得，所以当时有唯一零点，故A正确；对于B：当时，又，所以恒成立，所以不存在零点，故B错误；对于C：由，故或，因为关于的方程有两个不相等的实数根，故，解得，所以的取值范围为，故C正确；对于D：由，故或，因为关于的方程有且仅有一个实数根，所以或或，解得或，解得，解得， 综上可得或，即的取值范围为，故D正确；故选：ACD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.________.【答案】【解析】【分析】根据幂的运算性质、对数的运算性质及诱导公式计算可得.【详解】.故答案为：14.已知，则________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得. 【详解】因为，所以，所以.故答案为：15.已知函数的定义域为，且，，当时，，则________.【答案】【解析】【分析】依题意可得为偶函数且是周期为的周期函数，根据周期性及所给解析式计算可得.【详解】因为函数的定义域为，且，，所以为偶函数且是周期为的周期函数，又当时，，所以.故答案为：16.水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则________；点第一次到达最高点大约需要________秒.【答案】①.0②.4【解析】 【分析】以圆心为原点建立平面直角坐标系，由函数的周期求出，最后由，求出，即可求出函数解析式，则得到的值，令，即即可求得时间．【详解】以为坐标原点建立如图坐标系，由题知周期秒，，所以，又，∴，又因为，则，则，所以，（）.令得，∴，所以，得.所以点第一次到达最高点需要4秒.故答案为：0；4.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）把化为的形式，并求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.【答案】17.18.【解析】【分析】（1）先降幂，由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解；（2）由正弦函数的单调区间可得．【小问1详解】 （1），所以最小正周期为．【小问2详解】由，，解得，，所以的增区间为．18.已知函数.（1）若，求；（2）若，均为锐角，且，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，结合齐次式问题分析求解；（2）由求出，把消去，利用三角函数求最值.【小问1详解】因为函数，显然，所以.【小问2详解】因为，则，可得，因为，均为锐角，可知，且，可得，则，即， 所以因为，则，可得，即.所以的取值范围为.19.已知函数，.（1）当时，求的最小值；（2）记的最小值为，求的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；（2）由（1）知，令，，则原函数可化为，根据对称轴与区间位置关系分情况讨论即可求得．【小问1详解】设，因为，则，则，，当时，，，∴时，，即当时， 【小问2详解】由（1）知，，其图象的对称轴为．①当时，在上单调递增，所以；②当时，，③当时，在上单调递减，所以.综上，.20.已知函数.（1）求的定义域，并证明是奇函数；（2）求关于的不等式的解集.【答案】20.，证明是奇函数见详解.21..【解析】【分析】（1）常见六类基本初等函数的定义域求法计算即可，用奇函数的定义证明奇偶性即可.（2）利用函数增减性定义即可解出不等式.【小问1详解】令，故的定义域为. 上式化简有：……③由③式知：.的定义域关于原点对称，且，由奇函数的定义可知为奇函数.【小问2详解】利用增减性的定义证明的增减性：设，……④对④式化简有：……⑤……⑥……⑦……⑧⑦⑧有：……⑨⑥⑨代入⑤式有：……⑩，即，所以在区间单调递减.由于奇函数在定义域内单调性一致在定义域内单调递减..由奇函数定义代入上式化简有：.因为在定义域内单调减；即;在定义域内， 故的解集为.21.已知函数.（1）若对一切实数都成立，求实数的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意对一切实数都成立，分、两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围；（2）首先求出在上的值域，令，，依题意可得在上的值域为在上的值域的子集，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的取值范围.【小问1详解】因为对一切实数都成立，即对一切实数都成立，当时显然恒成立，当时，则，解得，综上可得，实数的取值范围.【小问2详解】当时，则在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以在上的值域为， 令，，因为对任意的，总存在，使成立，所以在上的值域为在上的值域的子集，当时为常数函数，显然不符合题意；当时在上单调递增，所以在上的值域为，所以，解得；当时上单调递减，所以在上的值域为，所以，解得；综上可得.22.设区间为函数定义域的子集，对任意且，记，，，则：在上单调递增的充要条件是在区间上恒成立；在上单调递减的充要条件是在区间上恒成立.一般地，当时，称为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率.设函数，请利用上述材料，解决以下问题：（1）分别求在区间、上的平均变化率；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为（2）【解析】【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）参变分离可得在时恒成立，利用所给定义证明在上单调递增，上单调递减，即可求出当时，从而求出参数的取值范围.【小问1详解】因为，则，，，所以，，所以在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为.【小问2详解】因为当时，不等式恒成立，所以在时恒成立，对于函数，，设任意且，则，因为且，所以，，则，所以，即在上恒成立，所以在区间上单调递增，同理可证在上单调递减，所以当时，所以.【点睛】关键点睛：第二问的关键是参变分离得到在时恒成立，结合所给定义证明函数，的单调性.