湖南省郴州市“十校联盟”2023-2024学年高一上学期期末模拟数学Word版含解析.docx

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郴州市“十校联盟”高一期末模拟考试数学试卷一、单选题（共有8题，每题5分，共40分，每小题只有一项正确答案.）1.已知集合，则=A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.命题“，”的否定为（）A.“，”B.“，”C.“，”D.“，”【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定形式判定即可.【详解】命题“，”的否定为:“，”.故选:D.3.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】依次判断各选项的两个函数的定义域和对应关系是否一致，即可得结果. 【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.B选项，定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不同，故不是同一函数.C选项，，，两个函数的定义域都为R，但对应关系不同，故不是同一函数.D选项，两个函数的定义域都为R，对应关系相同，故是同一函数.故选：D4.已知函数的定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.【详解】因为函数的定义域是，所以，所以,即的定义域为，所以，解得，即的定义域是.故选:C.5.已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（）A.B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数的图象与性质结合函数的图象可求得的范围，再根据二次函数的图象即可得解.【详解】函数的图象是由函数的图象向下或向上平移个单位得到的，由函数的图象可得函数为单调递减函数，则，令得，则，则函数的大致图象为A选项.故选：A.6.使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是（）A.B.1C.D.0【答案】D【解析】【分析】根据指数型复合函数的单调性确定函数在区间上单调递减成立的充要条件，从而可得其成立的一个充分不必要条件.【详解】由于函数上单调递减，函数在区间上单调递减，所以函数在上单调递增，则，解得，所以函数在区间上单调递减的充要条件为， 那么其成立的一个充分不必要条件可以是.故选：D.7.已知，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【详解】，，即，，下面比较与的大小，构造函数与，由指数函数与幂函数的图像与单调性可知，当时，；当时，由，故，故，即，所以，故选：A8.若函数有4个零点，则正数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据一次函数与对数函数的图象，得到时，函数只有一个零点，结合题意，得到时，方程有三个零点，利用三角函数的性质，得出不等式，即可求解.【详解】当时，令，即，即，因为函数与的图象仅有一个公共点，如图所示，所以时，函数只有一个零点，又由函数有4个零点，所以时，方程有三个零点，如图所示，因为，可得，则满足，解得，即实数的取值范围为.故选：B.二、多选题（本小题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得得2分，有错选的得0分.）9.对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（）A.B.C.RD.【答案】ACD【解析】 【分析】根据的大小分类讨论.【详解】时，不等式化为，，解集为，时，不等式化，解集为，时，不等式化为，，即解集为，时，不等式化为，时，或，解集为或，时，或，解集为或，故选：ACD．10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A.B.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.是函数图象的一条对称轴D.若，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及三角函数图象变换一一判断即可.【详解】解：依题意可得，，所以，又，解得，所以，又函数过点，即，所以， 所以，又，所以，所以，故A正确；由的图象向左平移个单位长度得到，故B错误；因为，所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；对于D：若，则取得最大（小）值且取最小（大）值，所以，故D正确；故选：ACD11.设正实数满足，则（）.A.的最小值为2B.的最大值为C.有最大值2D.【答案】AC【解析】【分析】根据基本不等式中常数代换技巧求解最小值判断AB，平方后利用基本不等式求解最大值判断C，消元后利用二次函数性质求解最值判断D.【详解】对于A，因为正实数a，b满足，则，当且仅当，即时取等号，正确；对于B，因为，所以，则，则，当且仅当，即时取等号，错误； 对于C，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，正确；对于D，，当时，取到最大值，错误.故选：AC12.已知函数满足当时，，且对任意实数满足，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数在上单调递增B.或1C.函数为非奇非偶函数D.对任意实数满足【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由函数单调性定义可判断正误；对于B，令，可判断正误；对于C，由A，B选项分析可判断正误；对于D，利用做差法及可判断正误.【详解】对于B，令，，得，由题意知，所以，故B错误；对于A，当时，，则，又，则当时，，即对任意，.取任意且，则，得，则 即，所以是上的增函数，故A正确；对于C，由是上的增函数且，可知为非奇非偶函数，故C正确；对于D，注意到，同理，则，又，且，则，即，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.当时，的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】由于，所以，所以，当且仅当时等号成立.故答案为：14.若，则______．【答案】【解析】 【分析】根据两角和的余弦公式、平方关系、二倍角公式求解.【详解】，所以，，所以，故答案为：.15.不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】设,利用数形结合求出答案.【详解】根据不等式，设当时，当时，根据图像数形结合可得的解集为，故答案为：.【点睛】不等式的题型，有时可以利用数形结合的思想来解决问题.16.下列命题正确的是__________．（写出所有正确的命题的序号）①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称； ②如，则；③函数是奇函数；④存在唯一的实数使为奇函数．【答案】①③.【解析】【详解】逐一考查所给的命题：函数为奇函数，则，函数的周期为，则，据此有：，则对函数上任意一点，可知点也在函数图像上，即函数的图象关于对称，说法①正确；若，则，据此可知，指数函数是上的单调递减函数，则，说法②错误；函数有意义，则：，解得：，函数的定义域关于坐标原点对称，且，即函数是奇函数，说法③正确；函数为奇函数，需满足：恒成立，即：恒成立，则：，经检验时，函数为奇函数，说法④错误.综上可得：所给的命题中，正确的是①③.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由集合A可得，利用列出不等式组，求出实数的取值范围；（2）若，则，分和两种情况，分别列不等式可得实数的取值范围．【详解】（1）因为，所以或．又且，所以，解得所以实数的取值范围是．（2）若（补集思想），则．当时，，解得；当时，，即，要使，则，得．综上，知时，，所以时，实数的取值范围是．18.已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求在上解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1），；（2）．【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质，以及时，，即可求出在上的解析式；（2）分和两种情况，结合正弦函数的性质，解正弦函数的不等式即可求出结果.【详解】（1）令，则，所以，又函数是定义在上的偶函数，所以，所以时，；即，；（2）当时，，即，所以；当时，，即，所以，所以；综上不等式的解集.19.已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域．【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]．【解析】【分析】 (Ⅰ)先用降幂公式辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间;(Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解.【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），整理得（k∈Z），所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）．（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象，由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]．【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易.20.某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示）,该扇环是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点,的两条线段围成．设圆弧和圆弧所在圆的半径分别为米,圆心角为θ（弧度）．(1)若,,求花坛的面积；(2)设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD的长度为多少时,花坛的面积最大？【答案】（1）；（2）当线段的长为5米时，花坛的面积最大. 【解析】【分析】(1)根据扇形的面积公式,求出两个扇形面积之差就是所求花坛的面积即可；(2)利用弧长公式根据预算费用总计1200元可得到等式,再求出花坛的面积的表达式,结合得到的等式,通过配方法可以求出面积最大时,线段AD的长度.【详解】(1)设花坛的面积为S平方米.答：花坛的面积为；(2)圆弧的长为米，圆弧的长为米，线段的长为米由题意知，即*，，由*式知，，记则所以=当时，取得最大值，即时，花坛的面积最大，答：当线段的长为5米时，花坛的面积最大.【点睛】本题考查了弧长公式和扇形面积公式,考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力.21.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】 （1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；（2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围．【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以，所以，可得，函数.（2）由（1）知所以在上单调递减.由，得，因为函数是奇函数，所以，所以，整理得，设，，则，当时，有最大值，最大值为.所以，即.【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.22.设是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“准不动点”，也称在区间上存在准不动点.已知.（1）若，求函数的准不动点；（2）若函数在区间上存在准不动点，求实数取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，当时，可得，可解得函数的准不动点；（2）先根据对数的性质可得在内恒成立，即在内恒成立，可得；再由在区间上存在准不动点可得与在内有交点，分析求解即可．【小问1详解】若时，则，因为在内均单调递增，则在内单调递增，且，则的解集为，即的定义域为，令，即，解得，故当，函数的准不动点为．【小问2详解】因为在内恒成立，则在内恒成立， 因为在内均单调递增，可知在内单调递增，且，则，解得；令，则，整理得，可知与在内有交点，且，结合的单调性可得，解得；