浙江省台金七校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考数学 Word版含解析.docx

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2023学年高一年级第一学期台金七校联盟期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义求解.【详解】集合，则.故选：C.2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】A【解析】【分析】利用同一函数的概念判断即可. 【详解】与定义域和对应关系均相同，是同一函数，故A正确；与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故B错误；与定义域不同，对应关系相同，不是同一函数，故C错误；由解得或，则的定义域为或，由且得，则的定义域，∴与定义域不同，不是同一函数，故D错误.故选：A.3.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数幂及对数的运算性质计算.【详解】∵，∴，∴，∴.故选：D.4.已知，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据根式的性质，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】当为奇数时，，，当为偶数时，，若，则， 则“”是“”的必要而不充分条件.故选：B.5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性及特值排除错误选项即可.【详解】的定义域为，∵，∴奇函数，图象关于原点对称，故AC错误；∵，故B错误，∴D正确.故选：D.6.已知，且，则的最小值为（）A.1B.C.9D.【答案】C【解析】【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．【详解】因为，所以， 则当且仅当，即时，等号成立．故选：C．7.定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得在上单调递增，在上单调递减，，，当或时，；当时，，由条件列出不等式组，求解即可.【详解】∵定义在上的偶函数在上单调递增，且，∴在上单调递减，且，∴当或时，；当时，，∵，∴或，∴或，∴或，即，则不等式的解集是.故选：A.8.取整函数最早出现在著名科学家阿兰•图灵（AlanTuring）在20世纪30年代提出的图灵机理论中.图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断.由于图灵机需要进行整数计算，因此取整函数成为了必需的工具之一.现代数学中，常用符号表示为不超过的最大整数，如，现有函数在区间上恰好有三个不相等的实数解，则 的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题可知时函数与恰有三个不同的交点，利用数形结合即得【详解】作出函数与的大致图像时，，从图像可知，当，即时，两个函数的图像在上恰有三个不同的交点．∴所求范围为．故选：B二､多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.我们常拿背诵圆周率来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率小数点后第位数字为，则下列说法正确的是（）A.是一个函数B.当时，C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的定义以及函数性质判断各选项，即可得答案.【详解】由题意可知，圆周率小数点后第位数字是唯一确定的，即任取一个正整数都有唯一确定的与之对应，因此是一个函数，故A正确；当时，，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD.10.已知定义在上的函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（）A.当时B.C.在区间上单调递减D.函数在区间上的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D.【详解】由题知，是奇函数，令，则，所以，故此时，A错；因为是上的奇函数， 所以，B正确；由上述可知时，，，则，因为，所以，，，所以，即，所以在区间上单调递减，C正确；当时，，当且仅当，即时取等，D正确.故选：BCD11.下列命题叙述正确的是（）A.且时，当时，B.且时，当时，C.且时，当时，D.且时，当时，【答案】CD【解析】【分析】利用特值法及作差法进行判断.【详解】对于A，因为且时，当时，取， 所以，则，故A错误；对于B，因为且时，当时，取，所以，则，故B错误；对于C，因为且时，当时，则，所以，则，故C正确；对于D，存在，，满足，故D正确.故选：CD.12.若函数在定义域内的某区间上单调递增，且在上也单调递增，则称在上是“强增函数”，则下列说法正确的是（）A.若函数，则存在使是“强增函数”B.若函数，则为定义在上“强增函数”C.若函数，则存在区间，使在上不是“强增函数”D.若函数在区间上是“强增函数”，则【答案】ACD【解析】【分析】根据对勾函数的单调性结合“强增函数”的定义即可判断A；根据“强增函数”的定义举出反例即可判断B；根据“强增函数”的定义结合指数函数的单调性举例即可判断C；根据“强增函数”的定义结合二次函数和对勾函数的单调性即可判断D.【详解】对于A，由对勾函数的单调性可得函数在上为增函数，而函数在上为增函数，所以存在使是“强增函数”，如，故A正确；对于B，因为，所以函数在上不增函数， 所以不是定义在上的“强增函数”，故B错误；对于C，函数在上单调递增，令，因为，所以函数在上不是增函数，故存在区间，使在上不是“强增函数”，如，故C正确；对于D，若函数在区间上是“强增函数，则函数在上都是增函数，由函数在区间上是增函数，得，解得，因为函数在区间上是增函数，当时，在区间上是增函数，符合题意，当时，因为函数在上都是增函数，所以函数在区间上是增函数，符合题意，当时，，由对勾函数得单调性可知函数在上单调递增，所以，所以，综上所述，，因为函数在上都是增函数， 所以，所以，故D正确故选：ACD【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.非选择题部分三､填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.______.【答案】【解析】【分析】根据根式及指数幂的运算求解.【详解】原式.故答案为：.14.函数的单调递增区间是______.【答案】（区间开闭都符合）【解析】【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果．【详解】，由，解得，令，当时单调递增，当时单调递减，又在时单调递增，所以函数的单调递增区间是.故答案为：. 15.函数当时，实数______.【答案】【解析】【分析】由所给的分段函数以及函数值，对其分类讨论即可.【详解】令，则，当时，有，解得或（舍去），即，当时，有即，因为，此时无实数解，当，有满足题意，当时，，不满足题意，故实数，故答案为：8.16.已知函数与函数，满足，当和在区间上单调性不同，则称区间为函数的“异动区间”.若区间是函数的“异动区间”，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】两函数图象关于轴对称，分，，，四种情况，结合函数图象和单调性，得到不等式，求出答案.【详解】，若，在上单调递增， 在上单调递减，满足要求，若，画出与的图象，如下：可以看出两函数图象关于轴对称，要想是函数的异动区间，则，解得，满足，当时，，，画出两函数图象，可以看出两函数图象在上单调性相同，不合要求，舍去，当时，画出两函数图象，可以看出两函数图象关于轴对称，要想是函数的异动区间，故，解得，满足， 综上，的取值范围为.故答案为：四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算可得解；（2）由题意，对集合讨论，可得解.【小问1详解】当时，集合，，或，.【小问2详解】，， 当即时，，则，解得，；当即时，，符合题意；当即时，，则，解得，；综上，实数的取值范围为.18.已知二次函数（为实数，且）（1）若，方程有两个相等的实数根时，求函数的解析式；（2）不等式的解集是，求函数的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意得函数图象关于直线对称，结合条件“有两个相等的实数根”，列出关于的方程组，求解即可；（2）由题意得方程有实数根，且，利用韦达定理求解.【小问1详解】，的图象关于直线对称,又根据条件“有两个相等的实数根”，列方程组如下：,【小问2详解】 不等式即的解集是，即方程有实数根，且，根据韦达定理：，.19.已知函数，其中.（1）当，求函数的值域；（2），求区间上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用判别式法求值域；（2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值.【小问1详解】时，，即，整理得，当时，，当时，由，得，解得，且，综上，，则的值域是.【小问2详解】 且，当时，即时，函数在区间上单调递增，此时；当时，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时，综上所述：20.已知指数函数，且，定义在上的函数是奇函数.（1）求和的解析式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据指数函数的定义和奇函数定义及性质求解；（2）根据是奇函数，得恒成立，根据在上单调递减，得恒成立，再利用判别式求解.【小问1详解】设且，，，； 是定义在上的奇函数，，对恒成立，.【小问2详解】恒成立，恒成立，又可知在上单调递减，恒成立，恒成立，，.21.天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”.预估生产线建设等固定成本投入为100万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价45元并能全部销售完.（1）求出利润（万元）关于年产量万个的函数解析式；（2）当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；（3）当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1）（2）22472个（3）30万个，利润最大为410万元【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解；（2）时，取最小值即可，仅需，求解即可；（3）利用一次函数，二次函数的性质以及基本不等式分段求解最值，比较大小可得答案.【小问1详解】总销售额：万元，总成本：固定成本万元，∴利润【小问2详解】时，取最小值即可，仅需万，取22472个.【小问3详解】当时，，当时，，当时，，当且仅当时取等号，综上，当万个时，利润最大为410万.22.定义在的函数满足：对任意的，都有，且当时，. （1）求证：函数是奇函数；（2）求证：函数在上是减函数；（3）若，且恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用赋值法以及奇函数的定义进行证明；（2）根据已知条件，利用单调性的定义、作差法进行证明；（3）把恒成立问题转化为函数的最值问题进行处理，利用单调性、一次函数进行处理.【小问1详解】令，则有，令，则有，，是奇函数.【小问2详解】设则所以，因为，所以，即，则，又，所以，所以，所以，即，所以在上是减函数.【小问3详解】由（1）（2）知在上是减函数，且为奇函数， 所以当时，函数的最小值为，所以恒成立，等价于：恒成立，即恒成立，设，是关于的一次函数，所以，即，则，