2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷01（全解全析）.docx

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2024年1月辽宁省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷01一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共计36分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合M=−2,−1,0,1，N=x−3≤x<0，则M∩N=（    ）A．−2,−1,0,1B．0,1C．−2D．−2,−1【答案】D【分析】利用交集的定义可求得集合M∩N.【详解】因为集合M=−2,−1,0,1，N=x−3≤x<0，则M∩N=−2,−1.故选：D.2．已知复数z在复平面内对应的点的坐标为−1,2，则z=（   ）A．−1+2iB．1+2iC．1−2iD．−1−2i【答案】D【分析】由复数的坐标表示及共轭复数概念可得答案.【详解】由题，z=−1+2i，故z=−1−2i，故选：D3．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物。图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2．已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为23，则该几何体的体积是（    ）A．32B．643C．1283D．64【答案】C【分析】根据正四棱锥的几何性质，建立方程，求得其高，结合体积公式，可得答案.【详解】解：因为正四棱锥的底面边长为4，所以底面的对角线长为42，设正四棱柱和正四棱锥的高为h，因为正四棱锥的侧棱长为23，所以h2+222=232，解得h=2，故该几何体的体积为4×4×2+13×4×4×2=1283.学科网（北京）股份有限公司 故选：C.4．已知向量a=−1,3,b=−1,2,c=2,m，若b//2a−c，则m=（    ）A．−1B．−2C．1D．2【答案】B【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】由a=−1,3,b=−1,2,c=2,m，得2a−c=−4,6−m，因为b//2a−c，所以−6−m+8=0，解得m=−2.故选：B.5．命题“∀x∈R，有x2+2x+3≥0”的否定是（   ）A．∃x0∈R，使得x02+2x0+3≥0B．∀x∈R，有x2+2x+3<0C．∃x0∈R，使得x02+2x0+3<0D．∀x∉R，有x2+2x+3<0【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.【详解】解：因为命题“∀x∈R，有x2+2x+3≥0”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“∃x0∈R，使得x02+2x0+3<0”.故选：C.6．关于x的方程x2−2a+1x+a2=0有实数根的充要条件是（    ）A．a>1B．a>−2C．a≥−14D．a≥−4【答案】C【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件.【详解】由方程有实根，则Δ=(2a+1)2−4a2=4a+1≥0，可得a≥−14.所以a≥−14是题设方程有实根的充要条件.故选：C7．已知角α的终边经过点−3,4，则cosπ+α=（    ）A．−45B．−35C．35D．45【答案】C【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得.【详解】由角α的终边经过点−3,4，得该点到原点距离r=(−3)2+42=5，cosα=−3r=−35，所以cosπ+α=−cosα=35.故选：C8．明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（    ）A．三次均未中靶B．只有两次中靶C．只有一次中靶D．三次都中靶学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【分析】根据互斥事件的概念分析判断.【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；故选：A.9．下列函数中，在区间0,+∞上单调递增且是奇函数的是（    ）A．y=xB．y=x2C．y=xD．y=x−1x【答案】D【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐一判断即可.【详解】对于A，函数y=x的定义域为0,+∞，故函数y=x为非奇非偶函数，故A不符题意；对于B，函数y=fx=x2的定义域为R，因为f−x=x2=fx，所以函数y=x2为偶函数，故B不符题意；对于C，函数y=fx=x的定义域为R，因为f−x=x=fx，所以函数y=x为偶函数，故C不符题意；对于D，函数y=fx=x−1x的定义域为xx≠0，因为f−x=−x+1x=−fx，所以函数fx为奇函数，又因为函数y=x,y=−1x在区间0,+∞上都单调递增，所以函数y=x−1x在区间0,+∞上单调递增，故D符合题意.故选：D.10．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a,b为非零实数，且a>b，则下列结论正确的是（    ）A．ac2>bc2B．1ab2>1a2bC．a2>b2D．ba>ab【答案】B【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可求解.【详解】对于A，当c2=0时，ac2=bc2=0，故A错误，对于B，1ab2−1a2b=a−ba2b2，由于a>b，所以1ab2−1a2b=a−ba2b2>0，故B正确，对于C，若a=−2,b=−3,则a2=4,b2=9，此时a2ab，故D错误，故选：B11．在△ABC中，点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，若MN=xAB+yAC，则x+y=（    ）A．1B．23C．−23D．-1【答案】B【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.【详解】点M是边AC上靠近点A的三等分点，点N是BC的中点，如图所示，MN=MA+AB+BN=13CA+AB+12BC=13CA+AB+12AC−AB=12AB+16AC所以x=12,y=16,x+y=23.故选：B.12．已知定义在R上的偶函数fx满足fx−4=−fx，且当x∈0,2时，fx=2x−1，则下列说法错误的是（    ）A．f5=−1B．函数fx关于直线x=4对称C．函数fx+2是偶函数D．关于x的方程fx−2=0在区间−2,2上所有根的和为0【答案】C【分析】由fx−4=−fx，取x=−1可判断A；由fx为偶函数结合fx−4=−fx可判断B；令gx=fx+2，验证gx与g−x的关系可判断C；画出fx在区间−2,2上的图象可判断D.【详解】取x=−1，得f−1−4=−f−1=−f1=−2−1=−1，所以f5=f−5=−1，故A正确；因为fx−4=−fx，则fx+4=−fx，即fx+4=fx−4，又由fx为偶函数fx−4=f4−x，即fx+4=f4−x，所以函数fx关于直线x=4对称，故B正确；令gx=fx+2，则g−x=f−x+2=fx−2=fx+2−4=−fx+2=−gx，所以gx为奇函数，即函数fx+2是奇函数，故C错误；因为fx为偶函数，画出函数−2,2的图象可知，方程所有根的和为0，故D正确.学科网（北京）股份有限公司 故选：C.二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分）13．计算：log21+log39=．（用数字作答）【答案】2【分析】根据题意，由对数的运算，即可得到结果.【详解】原式=0+2=2.故答案为：214．已知函数fx=2x+1+1x−1，则fx的定义域为.【答案】−12,1∪1,+∞【分析】根据函数解析式的特点列出限制条件，化简可得答案.【详解】由题意2x+1≥0x−1≠0，解得x≥−12且x≠1，所以定义域为−12,1∪1,+∞.故答案为：−12,1∪1,+∞15．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是.【答案】13【分析】利用古典概型概率公式，即可求解.【详解】甲、乙各选1科有3×2=6种方法，其中所选科目相同，包含都选化学或都选生物，共2种情况，所以甲、乙所选科目相同的概率P=26=13.故答案为：1316．已知正实数x，y满足x+y=1，则4y+9x的最小值为．【答案】25【分析】由题意得4y+9x=4y+9xx+y，化简后利用基本不等式可求得其最小值.【详解】因为正实数x，y满足x+y=1，学科网（北京）股份有限公司 所以4y+9x=4y+9xx+y=4xy+4+9+9yx≥13+24xy⋅9yx=25，当且仅当4xy=9yx，即x=35,y=25时取等号，所以4y+9x的最小值为25.故答案为：25.三、解答题（本题共5小题，共52分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知a=1,0,b=2,1.(1)求a+2b的坐标；(2)k为何值时，ka−b与a+2b共线.【答案】(1)5,2(2)k=−12【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示即可求解.（2）由向量共线的充要条件即可求解.【详解】（1）因为a=1,0,b=2,1，所以a+2b=1,0+2×2,1×2=5,2.（2）因为a=1,0,b=2,1,所以ka−b=k−2,−1,a+2b=5,2,又ka−b与a+2b共线,所以2k−2+5=0⇒k=−12.18．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，E, F, G, H分别是AB, AC，A1B1，A1C1的中点.  (1)求证：B，C，H，G四点共面；(2)求证：BG//平面A1EF；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）借助三角形的中位线，证明GH//BC，可得B，C，H，G四点共面；（2）结合平行四边形性质先证A1E//GB，再证BG//平面A1EF.学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）（1）∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，∴GH是△A1B1C1的中位线，∴GH//B1C1，又在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1C1//BC，∴GH//BC，  ∴B，C，H，G四点共面；（2）∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1B1//AB，A1B1=AB，∴A1G//EB，A1G=12A1B1=12AB=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E//BG，∵A1E⊂平面A1EF，BG⊄平面A1EF，∴BG//平面A1EF.19．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC．(1)求角A的大小；(2)若a=13，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长．【答案】(1)A=π3(2)5+13【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可；（2）由△ABC的面积为3可得bc=4，再根据余弦定理即可得b+c，进而求得周长.【详解】（1）由正弦定理b+cb+c=a2+3bc，即a2=b2+c2−bc，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc=12，且A∈0,π，故A=π3.（2）由题意S△ABC=12bcsinA=3，解得bc=4.由余弦定理13=b2+c2−bc=b+c2−3bc，可得b+c=5.故△ABC的周长为a+b+c=5+1320．为了调查某学校高二年级学生的数学学习情况.采用分层抽样的方式从高二年级抽取n人参加数学知识竞赛（满分10分）.已知该校高二年级男女生的人数比为1:2（男生：女生）.分层抽样中共抽取了20名男生参加数学知识竞赛，他们的分数记为x1i=1,2,3⋅⋅⋅20，数据xi分别为：2，3，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，8，8，9（参考数据：i=120xi=120，i=120xi2=788）(1)求男生数学知识竞赛成绩的方差.(2)若样本总平均分为4，求女生数学知识竞赛的成绩的平均分，学科网（北京）股份有限公司 (3)规定：成绩大于等于8为优秀.样本中，若从数学知识竞赛优秀的男生中抽取2人，求恰好抽到一名男生的分数为9的概率.【答案】(1)3.4；(2)3；(3)13.【分析】（1）利用给定数据，结合方差的定义计算即得.（2）利用平均数的定义直接列式计算得解.（3）根据给定信息，利用列举法，结合古典概率公式计算即得.【详解】（1）依题意，男生数学知识竞赛成绩的平均数x=120i=120xi=120=6，所以男生数学知识竞赛成绩的方差s2=120i=120xi2−x2=120×788−62=3.4.（2）由男生与女生的人数比为1:2，而男生人数为20，则女生人数为40，总人数为60，显然女生的总分为60×4−120=120，所以女生数学知识竞赛的成绩的平均分为120÷40=3.（3）样本中，数学知识竞赛优秀的男生有6人，其中分数为8分的有5人，记这5人为a,b,c,d,e，记分数为9分的1人为F，从6人中任意抽取2人的结果有：ab,ac,ad,ae,aF,bc,bd,be,bF,cd,ce,cF,de,dF,eF，共15个，抽到分数为9分的男生的事件有：aF,bF,cF,dF,eF，共5个结果，所以恰好抽到一名男生的分数为9的概率为515=13.21．已知函数fx=sinx+π3，把函数fx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，然后再把所得到的图象上所有点向右平行移动π12个单位长度，得到函数gx的图象．(1)求函数y=gx的解析式；(2)求函数y=fx+gx在x∈−π2,π2上的最大值和最小值．【答案】(1)gx=sin2x+π6(2)ymax=2；ymin=−98【分析】（1）由函数的平移法则可直接求解y=gx的解析式；（2）结合诱导公式化简得y=cosx−π6+cos2x−π3，再由二倍角公式cos2x−π3=2cos2x−π6−1和换元法t=cosx−π6，可得y=2t2+t−1,t∈−12,1，结合二次函数的开口和对称轴可求y的最大值和最小值．【详解】（1）由题可知fx=sinx+π3横坐标缩短到原来的12倍，可得sin2x+π3，再向右平行移动π12个单位长度，得gx=sin2x+π6−π12，学科网（北京）股份有限公司 即gx=sin2x+π6−π12=sin2x+π6；（2）y=fx+gx=sinx+π3+sin2x+π6=cosπ2−x−π3+cosπ2−2x−π6=cosx−π6+cos2x−π3由cos2x−π3=2cos2x−π6−1得y=fx+gx=cosx−π6+2cos2x−π6−1，设t=cosx−π6，因为x∈−π2,π2，所以x−π6∈−2π3,π3，t∈−12,1，故y=2t2+t−1,t∈−12,1，对称轴为t=−14，故ymin=2×−142−14−1=−98，ymax=2×12+1−1=2，学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司