数列基础知识

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1、数列基础知识一、数列1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作{an}．其中an是该数列的第n项，列表法、图象法、符号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．4．数列的一般性质：①单调性；②周期性．5．数列的分类：①按项的数量分：有穷数列、无穷数列；②按相邻项的大小

2、关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、其他；③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一

3、．7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式an=f（a）（n=2，3，…）（或an=f（a,a）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式．8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn==a1+a2+…+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=f（n）（n=1，2，3，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式．9．通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式Sn的

4、关系可表示为：．二、等差数列1．等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列（又叫算术数列），这个常数叫做等差数列的公差．根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型：公差范围d＞0d＜0d=0类型递增数列递减数列常数列2．等差数列的性质：①定义公式：an－an-1（n≥2）=an+1－an=d．②通项公式：an=a1+（n－1）d=ak+（n－k）d．注：a是关于n的一次型代数式，即可写成an=an+b，其中n的系数为公差．③公差公式：．公差是等差数列的图象的斜率．④

5、中项公式：a、b、c成等差数列b－a=c－b2b=a+cb=b是a与c的等差中项；{an}为等差数列2an=an-1+an+1（n≥2）．（存在性与唯一性）⑤换和公式：m、n、p、qN，m+n=p+qam+an=ap+aq（可推广）．⑥求和公式：Sn=（a1+an）n=na1+n（n－1）d=an（n为奇数）．注：Sn是关于n的二次型代数式，且无常数项，即可写成Sn=an2+bn，其中n2的系数为公差的一半．⑦经验公式：ap=q，aq=p(p≠q)a=0；（方程、函数、数形结合等思想）Sp=q，Sq=p(p≠q)S=－(p+q)；Sp=S

6、q(p≠q)S=0．3．子数列：若{an},{bn}是等差数列，公差分别为d1、d2，则以下数列为{an}的子数列：子数列{akn+b}{Sn+k-1-Sn-1}{Skn-Sk(n-1)}{pan+qbn}公差kd1kd1kd1d1/2pd+qd首项aSSapa+qb（k、b、p、q为常数，k、bZ，且k2+b2≠0，S0=0）4．奇数项的和与偶数项的和：在有穷等差数列{an}中，设S奇表示所有奇数项的和，S偶表示所有偶数项的和：①若项数为2k＋1（kN＋），S奇－S偶=a，S奇:S偶=（k＋1）:k；②若项数为2k（kN＋），S偶－S奇

7、=kd，S奇:S偶=ak:ak+1．5．S的最值：①若Sn=an2+bn，则当n为最接近的正整数时，Sn最大(a<0)或最小（a>0）．②在等差数列{an}中，若ak＞0＞ak+1，则n=k时，Sn最大；若ak-1＞ak=0＞ak+1，则n=k或k－1时，Sn最大；若an＜0，则n=1时，Sn最大．③在等差数列{an}中，若ak＜0＜ak+1，则n=k时，S最小；若ak-1＜ak=0＜ak-1，则n=k或k－1时，Sn最小；若an＞0，则n=1时，Sn最小．6．{

8、an

9、}的前n项的和：若等差数列{an}的前n项和为Sn，用Tn表示{

10、a

11、n

12、}的前n项和，则：①当ak≥0＞ak+1时，；当an≥0时，Tn=Sn．②当ak≤0＜ak+1时，；当an≤0时，Tn=－Sn．7．两个等差数列和的比与项的比之间的关系：若等差数列{an}