数列基础知识

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1、数列基础知识梳理一、数列1、数列的定义数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它的有限子集{1,2,3,4，……，n}的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为通常简记为，其中是数列的第n项，也叫通项。注意：1）与是不同的概念，表示数列而表示的是这个数列的第n项2）数列与集合的区别集合中元素性质：确定性，无序性，互异性；数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。2、数列的通项公式当一个数列的第n项与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，就把这个公式叫数列的通项公式，可根据数列的通项公式算

2、出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。3、数列的表示方法数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种：1）解析法:通项公式和递推公式两种；2）列表法3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类(1)有穷数列和无穷数列(2)单调数列，搬动数列，常数列5、6、等差数列1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示定义的表示为：或者公差可正可负或为零，为零时，数列为常数列。

3、2）等差数列的通项公式对于第二个公式要求是数列中的项即可，也可表示为3）等差数列的增减性4）等差中项任意两个数有且仅有一个等差中项，即。5）等差数列前项和公式（倒序相加法）第二个公式可整理成，设则，可看成是关于的二次函数（常数项为0）那么可以得出一下结论：1、等比数列1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等差数列的公比，公差通常用字母表示定义的表示为：或者公比；当时，数列为常数列。2）等比数列的通项公式3）等比数列的增减性4）等比中项如果在中间插入一个数使成等比数列，那么叫做的等比中项。如果是的等比中项，那么；

4、只有同号的两个数才有等比中项。一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）是它的前一项与后一项的等比中项。5）等比数列前项和公式等比数列前项和公式的特点：当可以化为，那么一、等差数列、等比数列的性质1.等差数列的性质(1)若公差，此数列为递增数列；若公差，此数列为递减数列；若，此数列为常数列。(2)有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别地若项数为奇数，还等于中间项的2倍。(3)若，特别地若此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相同。(4)等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列

5、，但剩下的项不一定是等差数列(5)等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即是等差数列。(6)若数列和数列是等差数列，则也是等差数列，其中为常数。(7)项数为偶数的等差数列，有项数为奇数的等差数列，有2.等比数列的性质(1)单调性(2)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方。(3)若，特别地若(4)等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等比数列，但剩下的项不一定是等比数列.(5)(6)等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即是等比数列。(7)若数列和数列是等比数列，则也是等比

6、数列，其中为常数。一、等差数列、等比数列的判断方法1.等差数列的判定方法(1)定义法:(2)通项公式法:(3)中项公式法:(4)前n项和公式法:2.等比数列的判定方法(1)定义法:(2)通项公式法:(3)中项公式法:(4)前n项和公式法: