2006数学二

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2006年数学（二）考研真题及解答一、填空题x4sinx（1）曲线y的水平渐近线方程为.5x2cosx1x2sintdt,x0,（2）设函数f(x)x30在x0处连续，则a.a,x0xdx（3）广义积分.0(1x2)2y(1x)（4）微分方程y的通解是.xydy（5）设函数yy(x)由方程y1xe确定，则=.A0dx21（6）设矩阵A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BAB2E，则B=12.二、选择题（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0，x为自变量x在x处的增量，y与dy0分别为f(x)在点x处对应的增量与微分，若x0，则0（A）0dyy.（B）0ydy.（C）ydy0.（D）dyy0.【】x（8）设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则f(t)dt是0（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在x0间断的奇函数（D）在x0间断的偶函数.【】1g(x)（9）设函数g(x)可微，h(x)e,h(1)1,g(1)2，则g(1)等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln21.（D）ln21.【】x2xx（10）函数yCeCexe满足一个微分方程是12xx（A）yy2y3xe.（B）yy2y3e.xx（C）yy2y3xe.（D）yy2y3e.

11（11）设f(x,y)为连续函数，则4df(rcos,rsin)rdr等于0022221x1x（A）2dxf(x,y)dy.（B）2dxf(x,y)dy.0x0022221y1y（C）2dyf(x,y)dx.（D）2dyf(x,y)dx.【】0y001（12）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)0.已知(x,y)是f(x,y)在约束条件y00(x,y)0下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00（B）若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00（C）若f(x,y)0，则f(x,y)0.x00y00（D）若f(x,y)0，则f(x,y)0.【】x00y00（13）设a,a,,a,均为n维列向量，A是mn矩阵，下列选项正确的是12（A）若a,a,,a,线性相关，则Aa,Aa,,Aa,线性相关.1212（B）若a,a,,a,线性相关，则Aa,Aa,,Aa,线性无关.1212（C）若a,a,,a,线性无关，则Aa,Aa,,Aa,线性相关.1212（D）若a,a,,a,线性无关，则Aa,Aa,,Aa,线性无关.【】1212（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记110P010，则00111（A）CPAP.（B）CPAP.TT（C）CPAP.（D）CPAP.三解答题x23315．试确定A，B，C的常数值，使得e(1BxCx)1Axo(x)，其中o(x)是当3x0时比x的高阶无穷小。

2xarcsine16．求dxxe17．22设区域D(x,y)xy1,x01xy计算二重积分Idxdy221xyD18．设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n0,1,2,)证明:(1)limx存在,并求极限n1x1(2)计算lim(xn1)xn2xxn证明:当0

3TT23设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量1,2,1,0,1,1是线性方程组Ax=012T的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得QAQA.

4真题答案解析一、填空题x4sinx1（1）曲线y的水平渐近线方程为y5x2cosx54sinx1x1limylimxx2cosx55xx12sintdt,x013（2）设函数f(x)x在x=0处连续，则a=03a,x02sm(x)1limf(x)lim2x0x03x3xdx1（3）广义积分22(1x)202xdx1d(1x)11110222220(1x)2(1x)2(1x)2200y(1x)x（4）微分方程y的通解是ycxexydy（5）设函数yy(x)由方程y1xe确定，则edxx0当x=0时，y=1，yy又把方程每一项对x求导，yexeyyyyey(1xe)eyex01xeyx0y1二、选择题（7）设函数yf(x)具有二阶导数，且f(x)0,f(x)0,x为自变量x在点x0处的增量，y与dy分别为f(x)在点x处对应增量与微分,若x0，则[A]0（A）0dyy（B）0ydy（C）ydy0（D）dyy0由f(x)0可知f(x)严格单调增加

5f(x)0可知f(x)是凹的即知（8）设f(x)是奇函数，除x0外处处连续，x0是其第一类间断点，则xf(t)dt是[B]0（A）连续的奇函数（B）连续的偶函数（C）在x=0间断的奇函数（D）在x=0间断的偶函数1g(x)（9）设函数g(x)可微,h(x)e,h(1)1,g(1)2,则g(1)等于[C]（A）ln31（B）ln31（C）ln21（D）ln211g(x)1g(1)∵h(x)g(x)e，12ex2xx（10）函数ycecxe满足的一个微分方程是[D]12xx（A）yy2y3xe（B）yy2y3exx（C）yy2y3xe（D）yy2y3e∵特征根为1和-2，故特征方程为(1)(2)041（11）设f(x,y)为连续函数，则df(rcos,rsin)rd等于[C]00222221x21x（A）dxf(x,y)dy（B）dxf(x,y)dy0x00222221y21y（C）dyf(x,y)dx（D）dyf(x,y)dx0y00（12）设f(x,y)与(x,y)均为可微函数，且(x,y)0,已知(x,y)是f(x,y)在约束条件(x,y)0y00下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A）若f(x,y)0,则f(x,y)0x00y00（B）若f(x,y)0,则f(x,y)0x00y00（C）若f(x,y)0,则f(x,y)0x00y00

6（D）若f(x,y)0,则f(x,y)0x00y00令Ff(x,y)(x,y)Ff(x,y)(x,y)0(1)xxxFf(x,y)(x,y)0(2)yyyF(x,y)0f(x,y)f(x,y)(x,y)y00y00x00今(x,y)0,代入(1)得f(x,y)y00x00(x,y)(x,y)y00y00今f(x,y)0,f(x,y)(x,y)0则f(x,y)0故选[D]x00y00x00y00三、解答题x233（15）试确定A，B，C的常数值，使e(1BxCx)1Axo(x)其中o(x)是当3x0时比x的高阶无穷小.23xxx3解：泰勒公式e1xo(x)代入已知等式得2623xx323[1xo(x)][1BxCx]1Axo(x)26整理得12B1331(B1)x(CB)xCo(x)1Axo(x)226比较两边同次幂函数得B+1=A①1C+B+=0②2B1C0③26B12式②-③得0则B2331代入①得A31代入②得C6xarcsine（16）求dxxe

7xarcsinexxarcsint解：原式=de令etdtx22(e)t1arcsintdtarcsintd()ttt1t2arcsinttdt2arcsint1(2udu)令1tutt21t2t2u(1u2)arcsintdu2tu1arcsint1u1lnCt2u1xx2xarcsinearcsine11e1dxlnCexex21e2x122（17）设区域D{(x,y)|xy|,x0}1xy计算二重积分Idxdy221xyDxy解：用极坐标系dxdy0221xyD211r2Iddrln(1r)ln2201r2022（18）设数列{x}满足0x，xsinx(n1,2,3,)n1n1n证明：（1）limx存在，并求极限n1n12xxnn1（2）计算limnxn证：（1）xsinx,0x1,因此n2212xsinxx,{x}单调减少有下界x0n1nnnn根据准则1，limxA存在nn

8在xsinx两边取极限得AsinAA0n1n因此limx0n1n12sinxxnn（2）原式lim为"1"型nxn离散散不能直接用洛必达法则11sintsintt2limlnt0t2t先考虑limet0t11(tcostsint)limt02tsintt2用洛必达法则ett2t323t10(t)t0(t)tcostsint26limlimt02t3t02t3ee1133t0(t)261lim3et02te61（19）证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa证：令f(x)xsinx2cosxx只需证明0ax时,f(x)单调增加（严格）f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinxf(x)cosxxsinxcosxxsinx0f(x)单调减少（严格）又f()cos0故0ax时f(x)0则f(x)单调增加（严格）由ba则f(b)f(a)得证22（20）设函数f(u)在(0,)内具有二阶导数，且Zfxy满足等式

922zz022xyf(u)（I）验证f(u)0u（II）若f(1)0,f(1)1求函数f(u)的表达式z22xz22y证：（I）fxy;fxyxx2y2yx2y2222z22x22y2fxy22fxy32xxyx2y2222z22y22x2fxy22fxy32yxyx2y22222zz22f(xy)代入方程220得fxy0xyx2y2f(u)f(u)0成立udppdpduc（II）令f(u)p,则;c,pduupuuf(1)1,c1,f(u)ln|u|c,由f(1)0,c0f(u)ln|u|222xt1（21）已知曲线L的方程(t0)2y4tt（I）讨论L的凹凸性（II）过点(1,0)引L的切线，求切点(x,y)，并写出切线的方程00（III）求此切线与L（对应xx部分）及x轴所围的平面图形的面积0dxdydy42t2解：（I）2t,42t,1dtdtdx2ttdy2ddydx12110(t0处)dx2dtdxt2tt32dt曲线L(在t0处)是凸

10222（II）切线方程为y01(x1)，设xt1，y4tt，00000t222232则4tt1(t2),4tt(2t)(t2)0000000t02得tt20,(t1)(t2)0t0t1000000点为（2，3），切线方程为yx1（III）设L的方程xg(y)3则Sg(y)(y1)dy022t4ty0解出t24y得x24y12由于（2，3）在L上，由y3得x2可知x24y1g(y)3S9y44y(y1)dy033(102y)dy44ydy003333222(10yy)44yd(4y)214(4y)03008642213333线代(6)设A=21,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.-12解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得|B||A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(13)设1,2,…,s都是n维向量，A是mn矩阵，则（）成立.(A)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性相关.(B)若1,2,…,s线性相关,则A1,A2,…,As线性无关.(C)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性相关.(D)若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解:(A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,cs使得

11c11+c22+…+css=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+…+csAs=0,于是A1,A2,…,As线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,…,s线性无关r(1,2,…,s)=s.2.r(AB)r(B).矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记110P=010,则001-1-1(A)C=PAP.(B)C=PAP.TT(C)C=PAP.(D)C=PAP.解:(B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA,1-10-1-1C=B010=BP=PAP.001(22)已知非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=-1,4x1+3x2+5x3-x4=-1，ax1+x2+3x3+bx4=1有3个线性无关的解.①证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.②求a,b的值和方程组的通解.解:①设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2.②对方程组的增广矩阵作初等行变换:1111-11111-1(A|)=435-1-10–11–53,a13b1004-2a4a+b-54-2a由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:102-4201-15-3.00000得同解方程组x1=2-2x3+4x4，

12x2=-3+x3-5x4，TTT求出一个特解(2,-3,0,0)和AX=0的基础解系(-2,1,1,0),(4,-5,0,1).得到方程组的通解:TTT(2,-3,0,0)+c1(-2,1,1,0)+c2(4,-5,0,1),c1,c2任意.TT(23)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1),2=(0,-1,1)都是齐次线性方程组AX=0的解.①求A的特征值和特征向量.②求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ=.TTT解:①条件说明A(1,1,1)=(3,3,3),即0=(1,1,1)是A的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关,特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c0,c0.属于0的特征向量:c11+c22,c1,c2不都为0.333T②将0单位化,得0=(,,).33322666TT对1,2作施密特正交化,的1=(0,-,),2=(-,,).22366作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且300T-1QAQ=QAQ=000.000