2006年数学二真题

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1、一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限=2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】=【评注】若在某变化过程下，，则（2）微分方程满足初始条件的特解为.【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为，积分得，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.【评注】本题虽属基本题型，也可先变形，再积分求解.（3）设二元函数，则.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】,,于是.（4）设行向量组，，，线性相关，且，则a=.【分析】四个4维向量线

2、性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有,得，但题设，故【评注】当向量的个数小于维数时，一般通过初等变换化阶梯形讨论其线性相关性.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从中任取一个数，记为Y,则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=【评注】全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率，这类题型一直都是考查的重点.（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为XY0100.4a1b0

3、.1已知随机事件与相互独立，则a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件与相互独立，于是有，即a=,由此可解得a=0.4,b=0.1【评注】本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念，均为大纲要求的基本内容.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数恰好有两个不

4、同的零点.(A)2.(B)4.(C)6.(D)8.[B]【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】=，知可能极值点为x=1,x=2，且，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).【评注】对于三次多项式函数f(x)=,当两个极值同号时，函数f(x)只有一个零点；当两个极值异号时，函数f(x)有三个零点；当两个极值有一为零时，，函数f(x)有两个零点.（8）设,,,其中，则(A).（B）.(C).(D).[

5、A]【分析】关键在于比较、与在区域上的大小.【详解】在区域上，有，从而有由于cosx在上为单调减函数，于是因此，故应选(A).【评注】本题比较二重积分大小，本质上涉及到用重积分的不等式性质和函数的单调性进行分析讨论.（9）设若发散，收敛，则下列结论正确的是(A)收敛，发散.（B）收敛，发散.(C)收敛.(D)收敛.[D]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取，则发散，收敛，但与均发散，排除(A),(B)选项，且发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数的部分和数列极限存在.【评注】通过反例用排除

6、法找答案是求解类似无穷级数选择问题的最常用方法.（10）设,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，是极小值.（B）f(0)是极小值，是极大值.（C）f(0)是极大值，也是极大值.(D)f(0)是极小值，也是极小值.[B]【分析】先求出，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】，显然，又，且，故f(0)是极小值，是极大值，应选(B).【评注】本题为基本题型，主要考查取极值的充分条件.（11）以下四个命题中，正确的是(A)若在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B）若在（0，1）内连续，则f(x)在（0

7、，1）内有界.（C）若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=,则f(x)及均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又在（0，1）内有界，但在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).【评注】本题也可直接证明：用拉格朗日中值定理，有在(0,1)之间，由此容易推知若在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.（12）设矩阵A=满足，其中是A的伴随矩阵，

8、为A的转置矩阵.若为三个相等的正数，则为(A).(B)3.(C).(D).[A]【分析】题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.【详解】由及，有，其中为的代数余子式，且或而，于是，且故正确选项为(A).【评注】涉及伴随矩阵的问题是常考题型，只需注意到两个重要思路：一是用行列展开定理，另一是用公式：（13）设是矩阵A的两个不同的特征值，对