证券投资组合的熵优化模型

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1、陕西理工学院毕业论文证券投资组合的熵优化模型（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学教育专业1102班,陕西汉中）指导教师:[摘要]:证券投资是一种动态的投资选择过程,在一个市场信息不足的环境下,投资者对证券市场未来的走势难以预测,从而对投资者的决策带来很大的困难.本文在简单介绍了最大熵原理的基础上,建立了证券投资组合的均值-熵优化模型,该模型兼顾了证券市场的时间特征,同时也不必计算协方差矩阵,避免了计算的复杂性,为投资者在证券市场未充分发育环境下所作的决策,提供了一个辅助工具,更容易为一般投资者所使用.[关键词]:均值-

2、方差模型；投资组合；最大熵；熵优化1.引言马科维茨（Markowitz）的均值-方差理论对金融数学的贡献巨大,但是这种方法在投资收益率不服从正态分布时,就可能失效.另外,用方差度量风险时,当证券数目较大时,由于需要求解证券间的协方差,因此均值-方差模型求解比较困难.同时,由于证券市场的不确定性,不仅仅表现在不同证券之间收益率的均值和方差的差别上,随时间的波动更是建立一个合理的优化模型必须考虑的因素.本文提出的均值-熵优化模型纳入了以熵函数表达随时间的不确定性,特别适用于在证券市场不完善的情况.2.预备知识2.1熵、不确定

3、性以及投资组合用熵或者期望信息来度量不确定性已经被广泛应用.在统计物理和信息论中,熵作为不确定性的度量被用来做动态处理数据.在前者中,熵用来度量系统在某一时刻的状态；在后者中,熵用来描述系统传递信息的平均不确定性.在投资组合选择中,整个过程都是动态的,因此用熵来描述这种动态的不确定性更加合理.更重要的是,熵不依赖某种特定的分布,如果收益率的概率分布确定了,熵能够直接反映出这种分布,这就在很大程度上避免了用方差度量风险要求收益率的概率分布必须服从正态分布的缺陷.例如:假设投资组合或者组合中的某种证券的收益率密度函数是如下的

4、均匀分布形式（连续变量情况）:第10页共10页陕西理工学院毕业论文则我们可以计算出均值:计算出来的熵如下所示:从上面式子中可以看出,熵与均值是一一对应的,但并不依赖与均值,与标准差的对数形式是成线性关系的.也就是说熵作为风险的度量比方差更加能够合理的反映实际的投资收益率偏离期望收益率的动态波动情况.而标准差也是依赖于方差,依赖于正态分布的,因此用标准差度量风险跟用方差度量具有一样的缺陷性.所以熵更能反映出投资者的喜好和心态,是理性投资者对于度量不确定性的一个好的选择.3.模型建立3.1熵优化模型建立依据-最大熵原理杰尼斯

5、（Jaynes）提出的最大熵原理,为我们提供了这样一个选择准则,在确定概率分布时,除应满足已获取的统计距信息外,还要使由这些概率算出的熵函数取得最大值.显然,熵函数取得最大值就是他给我们提供的准则.有人马上会产生这样的疑问,为什么非得以熵最大作为选择准则而不用别的准则呢?的确,这个选择带有明显的主观性特征,因为它把选择的判据主观的定位于熵函数取最大值.尽管是这样,这个准则又的确在信息不足情况下,确定概率分布所能够做出的最“客观”的主观准则.要理解这里所说的最客观的含义,不妨回忆一下信息论中熵的定义.在信息论中,熵代表不确

6、定性（或无知）程度的度量,它的值愈大,意味着我们对所解问题知道的信息愈少.把熵最大作为准则,表明我们除了具有统计距的信息外,对待求的概率分布一无所知,这样处理问题不是更客观些吗？正是由于最大熵原理的这种主观性质,对是否应称其为原理曾有过争议.由于这个原理不是通过证明或理论推导而来,而且它所提供的是一个推理准则,称其为最大熵准则更为确切.但文献中,多沿用Jaynes的原来叫法.将上述最大熵原理用一个数学规划问题来表达,作为选择判据的熵函数取得最大值自然地成为这个规划问题的目标函数,而必须服从已知信息（如均值、方差等）作为问

7、题的约束条件.因此,最大熵原理可被表达为如下优化问题:第10页共10页陕西理工学院毕业论文(3.1.1)s.t.其中表示各阶统计距函数,是由实验观测得到的个阶统计距的期望值.在具体求解这个问题以前,让我们先来仔细考察一下这个优化问题.倘若我们没有获得任何统计距一类的观测数据,则问题中有关的约束条件将不存在.在这种情况下,易求得问题的解为,即为一个均匀概率分布.这个结果显然是合理的,因为没有获得任何实验观测数据,我们对n个可能的结果究竟哪个会在实际实验中出现就一无所知,因此根据Laplace的“不充分理由”判据原理,只能赋

8、予各可能结果以相等的概率.Laplace的这个原理可以简单的理解为,在没有充分理由赋予各可能结果以不同的概率值时,就赋予它们以相等的概率.事实上,前面统计物理中,对各微观态赋予相等的概率就体现了这一思想.另外,从熵函数的性质知道,在可能结果的数目一定情况下,概率分布为均匀分布时的熵函数值最大,任何其它概率分布算出的熵