《函数的最值》示范公开课教案【高中数学北师大】

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第二章导数及其应用用导数研究函数的性质6.3函数的最值◆教学目标1．结合实例，借助函数图象直观理解函数的最值定义.2．能用综合运用导数等工具求出函数的最值.◆教学重难点教学重点：利用导数、极值、函数图象等工具求出函数的最值．教学难点：从简单函数出发，了解求函数最值的一般步骤，逐渐形成解决函数问题的思路．◆教学过程◆一、新课导入想一想：我们上节课学习了函数的极大值和极小值，但是极大值不一定是最大的，极小值也不一定是最小的，我们怎么求出函数某个区间内最大或最小的函数值呢？设计意图：上节课的学习当中，已经有提到极大值并不一定是最大的，极小值也并不一定是最小的这个需要注意的点，那么带着这个问题，我们就可以顺着提出函数的最值概念，并且探究最值的求法．二、新知探究问题1：什么是函数的最值？答案：如图，在区间[a,b]内，所有函数值均小于fx0，所以fx0称为函数y=fx在区间[a,b]内的最大值.反之，函数的最小值是类似的意义.函数的最大值和最小值统称为最值.问题2：函数的最值在什么位置取得？

1答案：我们通过函数图象来找到取最值的位置.如图，通过观察两幅图象中最值的位置，不难发现，函数的最大值或者在极大值点取得，或者在区间的端点取得.类似的，函数的最小值或者在极小值点取得，或者在区间的端点取得.设计意图：在这个环节中，最关键的是一步步引导学生去寻找函数取最值的位置，最好可以多用几个不同的函数作为例子，当我们知道一般是在极值点或区间端点取得最值之后，接下来求最值的方法就是水到渠成了.三、应用举例例1：求函数fx=x3-2x2+5在区间[2,-2]内的最值解：f'x=3x2-4x令f'x=0，解得x1=0，x2=43计算函数在导数零点x1=0，x2=43、区间端点x3=-2，x4=2和处的值f0=5,f43=10327,f-2=-11,f2=5比较这四个数的大小，可知：函数fx=x3-2x2+5在区间[2,-2]内的最大值是5，最小值是-11例2：求函数fx=x+4x在区间[1,3]内的最值解：f'x=1-4x2=x2-4x2令f'x=0，解得x1=2，x2=-2计算函数在导数零点x1=2、区间端点x3=1，x4=3和处的值f2=4,f1=5,f3=133比较这四个数的大小，可知：函数fx=x+4x在区间[1,3]内的最大值是5，最小值是4四、课堂练习求下列函数在给定区间的最值.（1）fx=x2+(1-x)2,x∈[0,2]（2）fx=x3-9x2-48x+52,x∈[-2,2]

2参考答案：（1）解：f'x=2x-2(1-x)=4x-2解方程f'x=0得x1=12f12=12,f0=1,f2=5比较大小，可知：函数fx=x2+(1-x)2在区间[0,2]内的最大值是5，最小值是12（2）解：f'x=3x2-18x-48解方程f'x=0得x1=-2,x2=8f-2=12,f2=1比较可知：函数fx=x3-9x2-48x+52在区间[-2,2]内的最大值是1，最小值是12五、课堂小结求函数在区间内最值的方法：1.求出极值点；2.求出极值和函数在区间端点处的函数值；3.比较各个函数值的大小，得到最值.六、布置作业教材P80A组练习第3题．