高中数学-131-3函数的最值教案

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1、1.3.1函数单调性与最值一最值（第一课时）【教学过程】一、温故夯基1、函数单调性定义：函数y=f（x）的增减定义为：在定义域内的某个区间上，任意X1〈X2,有f（Xi）〈f（X2）,f（X）为增函数;任意X1f（X2）,f（x）为减函数.2、定义法证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：（1）任取Xi,X2ED,且Xi〈X2；（2）作差f（xj—f（x2）,变形；（3）定号（即判断差f（X1）-f（x2）的正负）；（4）下结论（即指岀函数f（x）在给定的区间D上

2、的单调性）.3、二次函数的一般式、顶点式、顶点坐标和对称轴分别是什么？二、新知问题提出：函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？函数的最值。知识探究（一）观察下列两个函数的图象:思考1:这两个函数图象各有一个最高点，函数图象上最高点的纵坐标是什么？思考2:设函数y二f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何？函数y二f(x)最大值定义一般地，设函数y=/(x)的定义域为/,如果存在实数M满足：

3、(1)对于任意的xe/,都有/(QAM;(2)存在兀w人使得/(九)二M,那么称M是函数y=/(兀)的最大值，记作f(x)=MJ、*max函数最大值的儿何意义：函数图象最高点的纵坐标。讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点。知识探究(二)观察下列两个函数的图象：图2图1思考1：这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标是什么？思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值?函数y=f(x)最小值定义:一

4、般地，设函数y=/(x)的定义域为如果存在实数M满足：(1)对于任意的xw/,都W/(x)>M⑵存在XOG/,使得那么称M是函数y=/(x)的最小值，记作/(x)•=MJ，mm函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点。三.讲练互动(1)图像法求函数最值例1、右图为函数y=/(兀)的图象，指出它的最大值、最小值。解：观察两数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-

5、1・5,-2)•所以函数y=/(x)当兀=3时取得最大值，即九=3；当x=-1.5时取得最小值，即人=-2.(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值(先作岀函数图象，寻找闭区间上的图象的最高点或最低点・)例2、已知函数f(x)=3x2-12x+5,当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(l)xWR；(2)[0,3]；(3)[-1,11.【思路点拨】作出y=3x2—12x+5(xWR)的图象再分别截取xG[0,3],xW[—1,1]上的图象，看图象的最高点，最低点的纵坐

6、标.【解】f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7.⑴当xWR时，f(x)=3(x—2T—72—7,当x=2时，等号成立.即函数f(x)的最小值为一7,无最大值.(2)函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在[0,2)上递减,在[2,3]上递增，并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上，函数f(x)在x=0时取得最大值，最大值为5,在x=2时，取得最小值，最小值为一7・（3）由图象可知,f（x）在[—1,1]上单调递减,f（x）max=f（-1）=2

7、0,f（X）min=f（1）=—4.要根据定义域截取图象.练习1、请大家思考，下列函数是否有最大值与最小值？（1）f（x）=x+1;（2）/（x）=x2;（3）/（x）=x2-2x-1,xG[0,3）归纳总结：1、一个函数不一定有最值.2、有的函数可能只有一个最大（或小）值.3、如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的。练习2：书上例3（3）利用函数单调性的定义求函数的最大（小）值例3、已知函数2「°q求函数f（x）的最大值和最/（兀）=——，兀W[2,6],X一1小值。（提示：单调法求函数

8、最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；）解：设Xi,x2e[2,6],且xi0,得x2-Xi>0,于是/(心)-f(x2)>0,即/(心)>f(x2)所以，函数y=^-是区间［2,6］上的减函数.x-1故当x=2时,儿®=2；当％二6时,练习3：已知函数/（x）=丄+［2,6］）,求函数的最大值