资源描述：
《钢管的订购和运输》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第31卷第1期数学的实践与认识Vol131No112001年1月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJan.2001钢管的订购和运输丁勇,薛斐,张振指导老师:涂永明陈恩水(东南大学,南京210096)编者按:该文针对问题的特点,提出了最小面积模型,创造性较强,求解比较简便.该文对灵敏度的分析也较为准确,近似根据线性规划进行分析有一定新意.该文的几个结果均较为准确,故部分予以发表.摘要:本文先利用问题一中铺设线路无分岔的特点,建立了基于图解法的最小面积模型,将规划问题转化为使若干折线段下方面积和
2、最小的问题,通过简单的判别准则,手工求得最小总费用为127863116万元,并对该结果最优性进行了说明.对问题三参考网络流思想建立了适用于一般铺设路线的非线性规划模型,用SAS得到一个最优方案和最小费用140663114万元,并用此模型对问题一的灵敏度进行了准确的定量分析.1问题的分析注意到原图中待铺设管道的路线A1～A15具有线性结构(无分岔),这样就可以把生产并铺设单位管道的费用作为纵坐标,铺设位置作为横坐标表示在一张图中.该图由七条折线组成,表示了七个钢厂生产并向管道路线上任意一点铺设单位钢管费用(见图).购运
3、计划是将A1～A15分成若干段,每一段指定一个厂家生产并铺设钢管.某一段的相应费用为该厂家对应的折线在这一段上与横坐标轴之间的面积,而总费用是各段费用之和.这样就将复杂的规划问题转化成求图形面积最小的问题.我们完全可以手工求解这个最小面积模型.考虑到运向Ai的钢管量等于运离Ai的钢管量,再综合产量的约束,对问题三可以借用网络流的思想建立一个通用的非线性规划模型.该模型的形式十分便于计算机求解并进行各参数的灵敏度分析.2模型建立和求解模型一、最小面积模型首先以铺设管道的长度为横坐标x,单位钢管从工厂运输到x的费用(包括
4、成本和运输费)为纵坐标y,做出折线图如下,考虑到作图的方便,这里考虑费用连续的情况.可以看出,任意一种铺设管道的方案就是选择一条首尾相接的折线(这里相接是指相邻的两部分折线端点的横坐标相等),它在x轴上的投影为[0,5171]整个区间.首先要说明的是S4厂和S7厂不会参与整体的购运计划中,这是因为对应S4的折线高于其他折线(实质就是费用较高),因而应予以剔除,而S7只可能对A14A15的供应钢管,但这样它的供应量却不足500单位的下限,如果强行供应,将造成成本费用的很大增长;可以算得若改用S6供应,虽然运费将增加一些
5、,但是节约的成本更多,所以改用S6代替S7为A14A15提供钢管是经济的.易知任意一种方案就是它所对应的折线下面的面积.如果没有产量上界的限制,最小的费用就是该折线族的下包络线,对应的费用约在113亿元左右.产量上限约束使得这种©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net84数学的实践与认识31卷©1994-2008ChinaAcademicJournalElectronicP
6、ublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net1期丁勇等:钢管的订购和运输85理想的情况无法实现.下面先说明如何在有产量限制的情况下,合理选取一条首尾相接的折线,使得折线下面的面积(同时也是这种方案的费用)达到最小.选取方法如下:先定义$ij(x)为在地点X选用工厂Si的钢管与选用Sj工厂的单位钢管的费用差;定义路线L为一段或几段路段组成,ûLû表示L的长度.如图,在A1C2上考虑S1,因为A1C2上使用S1厂生产的钢管费用最小,假设它的铺设路线为L1,那么选
7、取L1的原则是使∫$12(x)dx为最大且ûL1û=800,因为$12(x)是分段线性L1函数的差,所以它也是分段线性函数,由此不难计算得出L1=B3B4,其中B3=1436、B3=2236,$12=$12(B4)=68,易知在L1路线以外的$12(x)值均不大于68;实际上,我们可以进一步得到,在L1上有∫$1j(x)dx,j=2,3,5,6都为最大;L1因为S1的产量已经达到上限,所以除去S1,在A1B3∪B4B5上考虑S2,此段上使用S2厂家的钢管将使费用最小,假设它的铺设路线为L2,那么选取L2使∫$23(X
8、)dx为最大且ûL2ûL2=800,如上所述,可求得L2=A1B2∪B4B5,其中B1=500、B4=2236、B5=2536,$23(B1)=$23(B5)=10,易知在L1、L2以外的$23(x)值均不大于10,进一步得到,在L2上有∫$2j(x)dx,j=3,5,6都为最大;L2除去S1、S2,在B1B3∪B5C4上考虑S3,此段上使用S
