DVD在线租赁问题(1)

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第22卷第7期工程数学学报Vo!．22No．72005年12HCHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2005文章编~：1005—3085(2005)07-0101-07DVD在线租赁问题范浩，薛世坤，战东元指导教师：武汉大学指导组f武汉大学，武汉430072)编者按：本文思路清晰，解法简练有效利用二：项分布对DVD购买量进行了合理预测：对DVD购买与分发建立了使顾客达到最大满意度又使服务商取得最大利润的双目标优化问题；以使顾客达到足够满意度的购买量为随机变量，建立随机搜索

2、模型，利用计算机搜索得到好的解答。摘要：本文就DVD在线租赁问题建立了数学模型。我们假设会员在每月初申报订单，只申报一次的会员在月末归还DVD，申报两次的会员在月中归还DVD并进行二次申报，月末再次归还。对问题一本文建立了基于二项分布的随机模拟模型，发现了DVD的最小购买量与会员需求量之间的正比关系。问题二先将订单中会员对光盘的偏好程度转化为满意度矩阵，再建立DVD分配的0—1规划模型，用Lingo求解得到最大满意度以及对应的最优解。此外，文中还给出了一种高效率的贪婪算法。也能求得满意度较大的分配方案。问题三先根据给出的1000位会员对每种DVD的满意度求出每种D

3、VD的需求人数，利用第一问虽小购买量与会员需求量成正比关系的结论，运用计算机模拟的方法，先确定一较小的购买量，再用贪婪算法作为策略进行分配，计算满意的会员所占的百分比。按照需求比逐渐增加购买量直至满意的会员达到95％为止。此时的购买量即为最小购买量。问题四中我们提出网站如何进行信息预测并决策DVD的购买量，通过减少订单周期和对会员还碟时间的随机化处理，模型更加切合实际。关键词：二项分布；0—1规划；贪婪算法；随机模拟分类号：AMS(2000)90C10中图分类号：O221．4文献标识码：A1问题分析和模型假设1．1需求预测假设抽样调查的1000个样本精确地反映了1

4、0万个会员的喜好。根据极大似然估计，愿意看5种DVD的人数分别为20000，10000，5000，2500，1000~1．2会员结构网站60％的会员每月租赁DVD两次，我们称其为A类会员；另外的40％只租一次，称其为B类会员。A、B类会员的人数只具有统计意义；1．3网站运营规则假设网站规定会员只能在月初(每月1号)和月中(每月16号)提交订单，随后网站立即根据订单发放DVD(一次3张)，A类会员在月中归还DVD并进行二次申报，在月末归还第二次发放的DVD，B类会员只在月末归还DVD。2符号说明aij编号为i的会员对编号为J的DVD的满意度；维普资讯http://w

5、ww.cqvip.com维普资讯http://www.cqvip.com第7期范浩等：DVD在线租赁问题103表1：一个月内保证至少50％会员看到喜欢的DVDDVDlDVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200001000050002500i000最小购买量63013163l59O800326这一关系可以用F检验法【2l进一步验证。3．1．2三个月内保证至少95％会员看到喜欢的DVD(仅以DVD1为倒)与3．1．1类似，只需注意月中只有A类会员返还DVD，此时也只能将返还的DVD分配给没有看过该片的A类会员：月末所有会员都返还DVD，下月初分配给所有需要该

6、片(没有看过而且喜欢该片)的会员。在月初的分配中，二项分布由目前需要该片的A、B两类会员人数决定。仍采用Matlab编程模拟求解。结果由表2给出。表2：三个月内保证至少95％会员看到喜欢的DVDDVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数2000010000500025001000最小购买量4527227011405752323．2问题二(在线订单的处理)3．2．1满意度的确定为了体现会员对光盘的满意程度，应建立合适的满意度函数。近似的认为会员对自己喜欢DVD的偏好级差是相同的。采用线性的满意度函数。而若光盘并未出现在会员的订单中，此时满意度值取0。认为

7、0与会员申报的最后一个DVD的满意度差值显著地大于他所喜欢的相邻两个DVD之间的满意度差值。建立满意度函数如下；=兰a为题表中编号为i的会员对编号为的DVD的偏爱程度，偏爱程度越高·满意度越大。3．2．2订单处理模型我们试图据此寻求一种最佳分配方案，使得所有会员对获得光盘的满意度之和最大。按照“问题分析”中网站的运营规则，每名会员每次应获得0或3张DVD。当某名会员未获得DVD时，一定可以通过向他任意分发3张DVD而使得目标函数值不减。因此模型的最优解一定在每名会员都获得3张DVD时取到。另外分配给会员的某种DVD的总数不应超过网站的维普资讯http://www.

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