dvd在线租赁问题研究

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第22卷第7期工程数学学报Vbl_22NO．72005年12月CHINESEJOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICSDec．2005文章编号：1005—3085(2005)07-0117-05DVD在线租赁问题研究李孙良，张云开，崔哲指导教师：黄光东(中国地质大学(北京)人文经管学院。北京100083)编者按：本文对题⋯考虑r每个DVD在给定周期内的周转次数，所得结果符合实际情况，对问题二基于所给的信息定义了满意度，根据建立的O．1规划得到了较理想的DVD分配结粜摘要：本文为在线租赁DVD服务的网站设

2、计一种分配方案。该方案保证顾客的满意度最大且DVD购买量_最少。对于问题一我们首先根据会员租赁DVD的频率及其概率．算出会员租DVD频率的期望值，从而求出各种DVD满足条件的最少需求量。问题二二足一个单目标优化问题。我们以顾客满意度为目标函数，建立o-1规划模型，利用Lingo软件求得虽大满意度。经过检验，用此方法得到的结果是比较合理的。关键词：满意度；期望；01规划分类号：AMS(2000)90C10中图分类号：O221．4文献标识码：A1问题提出本题所解决的问题都是以顾客的需求为前提的。问题一对于60％每月租赁DVD两次和40％每月租赁DVD一次的两种会员，在分配D

3、VD时是不可区分的。所以要用概率论中有关期望的知识去求解一般状况。问题二是一个单目标优化问题。解此题最直接的方法是用贪心算法，但本题数据量很大，即使用计算机求解也很难得到理想的结果。所以本文先建立优化模型再用Lingo软件求解。2模型假设11事先无法预测会员在本月订DVD的次数；21会员每次得到3张DVD；31问题～中，假设60％的每月租赁DVD两次的会员租赁的DVD一个月内可外借两次，而40％的每月租赁DVD一次的会员租赁的DVD在一个月内只能外借一次。3符号说明Ca(j)第J种DVD现有数量v(i，J)0．1变量，第i位会员是否得到第J种DVDCo(i，J)第i位会

4、员得到第J种DVD的满意度E在一个月内每张DVD出租次数的期望值R能看到DVD的会员的比率维普资讯http://www.cqvip.comll8工程数学学报第22卷愿意观看第J种DVD的人数第J种DVD应准备的数量每个光盘在三个月内能利用的次数的期望4模型建立与求解1)模mI(问焉一的解决)第J种DVD应准备数量=愿观看人数除以每张光盘利用次数的期望乘以能看到该DVD人数的比例。即P面i$R．(1)(a)一个月的情况：由于6O％的会员每月租两次，40％的会员每月只租一次，我们假设光盘第一次被每月租两次的会员租的DVD光盘一个月能利用两次·即可被两个会员租到，被只租一次的

5、会员租的DVD光盘一个月只能利用二次。可得到：每个光盘在一个月内能利用次数的期望为‘E=2×6O％+1×40％=1．6．由于能看到该DVD人数的比例：R=50％。调查的人数只占全部会员的l％，所以数据按100倍扩大。将数值代入模型I求解并且把解向右取整。可得表l的结果表l：一个月最少DVD光盘数(b)三个月的情况：三个月内光盘的分配方案有光盘利用次数具体方案谊方案的概率6BBBBBB(A)60％ABBBA；B*AB*BA：BBABA；BBBAA：5BBBBA：60％。×4o％0×5ABBBB；BABBB：+60％×40％×4BBABB；BBBBAB．4AABB；BAAB

6、；ABAB：6o％×4o％0×3AABA；BA*AA：ABAA．+6o％×40％×33AAA40％维普资讯http://www.cqvip.com第7期李孙良等：DVD在线租赁问题研究119每个光盘在三个月内能利用的次数的期望mE3=60％×6+(60％3×40％。×5+60％×40％×4)×5+(60％X40％×3+60％X40％X3)X4+40％。x3㈣∑4．44890∞∑由于能看到该DVD人数的比例：R=95％将数值代入模．，型I求解并且把解向右取整，可得表3的结果：×表3：三个月最少DVD光盘数．，2模型II(问I-的解决)这是1规划的问题，根据题设建立模型II

7、目标函数：∑v(i，J)≤Ca(j)，J=1，2⋯．20，(4)t：l20∑v(i，J)=3，i=1，2，⋯100，(5)J=1v(i，j)N0-1变量，i=1，2⋯．，100，i1，2⋯．，20，。(t，)：{IM0(为题中所给满意度a(i，J)=0M为充分大的数约束条件说明：(4)式表示每种光盘出租数不能超过该种DVD光盘现有张数。(5)式表示每个会员能且只能得到3张DVD光盘。该模型是求满意度最大的优化模型。因为题中所给满意度数据中除oSb，数值越小表示满意度越大，所以求满意度最大问题就是求满意度数值最小的问题。为了求解模型，我们先