材料力学04

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第四章扭转

14．1扭转的概念与工程实例轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、开门拧把手、汽车转向轴、丝锥等。扭转：在一对大小相等，方向相反的外力偶作用下,且力偶的作用面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。汽车中的转向轴

24．2圆轴扭转时的内力——扭矩的计算已知：轴的传递功率Pk（kW）、转速n（rpm），求：外力偶矩m（N•m）其中：Pk—功率，千瓦（kW）n—转速，转/分（rpm）一、外力偶矩的计算

3二、扭矩的计算与扭矩图mmTmxmT构件受扭时，横截面上的内力为力偶，称为扭矩，记作“T”。

4扭矩的正负规定：以右手螺旋法则，沿截面外法线方向为正，反之为负。Tmx取左段：取右段：mTx

5扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②清楚的表明|T|max值及其截面位置以方便强度计算（危险截面）。以轴的轴线为横坐标，以扭矩为纵坐标，画扭矩方程T(x)的曲线或直线。扭矩图画法：

6例已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW,试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩

7nABCDm2m3m1m4112233②求扭矩扭矩按正方向画，计算为正时，说明假设正确，计算为负，说明实际扭矩方向与假设相反。

8③绘制扭矩图BC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.78KN.m9.56KN.m6.37KN.m––

9薄壁圆筒：壁厚（r0为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力1.扭转前：4．3薄壁圆筒扭转时横截面上的切应力①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力m。

102、扭转后：①圆周线不变；②纵向线倾斜同一个角度，变成平行的螺旋线。3、结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。根据以上实验现象,可得结论：圆筒横截面上没有正应力，只有剪应力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径。

115、薄壁圆筒剪应力大小：假定平均分布,方向垂直于半径.A0：平均半径所作圆的面积。acddxbdy´´4、分析矩形变成平行四边形,各边长不变,所以两侧截面上只有切应力,无正应力.(实际上与扭矩对应的应力只能是切应力)

12上式称为切应力互等定理。dxdytzxy该定理表明：在两个相互垂直的面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向为共同指向或共同背离该交线。右上图单元体称为纯剪切单元体。4．4切应力互等定理

13薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。γ——切应变(量纲为弧度rad)γ剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系

144．5等直圆轴横截面的切应力强度条件一、等直圆轴横截面上的切应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。通过实验结果可假设横截面象刚性平面一样地绕杆的轴线转动.——平面假设等直圆杆扭转现象：

151.变形几何关系：lγdxmmACBDdxBADCOγRρ

16——扭转角沿长度方向变化率。ABCC´DRρEFGHdxOOD´γG´H´

172.物理关系：胡克定律：3.静力学关系：记Ip横截面的极惯性矩代入物理关系式得：

18应力分布maxmaxmaxmax（实心截面）（空心截面）这表明，横截面上各点的剪应力与点到截面中心的间距成正比，即剪应力沿截面的半径呈线性分布。

19最大剪应力：Wt称为抗扭截面系数，几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：

20圆轴扭转时，杆内各点均处于纯剪切应力状态。其强度条件应该是横截面上的最大工作剪应力max不超过材料的许用剪应力[]。二强度条件圆轴扭转时的最大工作剪应力max发生在最大扭矩所在横截面（危险截面）的周边上的任一点处（危险点）例题：图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径d2=100mm。扭转力偶矩为mA=22kN.m，mB=36kN.m，mC=14kN.m。已知材料的许用剪应力[]=80MPa，试校核该轴的度。ABC

21解：作轴的扭矩图ABC+2214mA=22kN.m，mB=36kN.mmC=14kN.m因此，该轴满足强度要求。分别校核两段轴的强度

22有一根轴，T=1.5kN·m，[]=50MPa,按两种方案确定轴截面尺寸，并比较重量：（1）实心轴；（2）=0.9的空心轴。解：（1）实心轴例（2）空心轴（3）比较重量实心轴的重量接近空心轴重量的3倍。

23一、扭转时的变形4.6圆轴扭转时的变形和刚度计算mmdxlGIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。即：（rad）

24m2m1m3lABlACABC已知：m1=1592N·m，m2=995N·m，m3=637N·m，lAB=300mm，lAC=500mm，d=70mm，G=80GPa。试求截面C对B的扭转角。解：12例

25二、刚度条件或：刚度条件：单位长度扭转角：[]称为许可单位长度扭转角，取0.15~0.30º/m。

26例长为L=2m的圆杆受均布力偶m=20Nm/m的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，G=80GPa，许用剪应力[]=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：①设计杆的外径代入数值得：D0.0226m。②由扭转刚度条件校核刚度③右端面转角为：