材料力学第04章 杆件变形分析

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1、中北大学理学院力学系第四章杆件变形分析第一节杆件轴向拉压变形第二节圆轴扭转变形第三节积分法求梁弯曲变形叠加法求梁弯曲变形第四节提高梁弯曲刚度的措施总结与讨论杆件在载荷作用下都将发生变形（deformation）。在有些结构或实际工程中，杆件发生过大的变形将影响杆件或结构的正常使用，必须对杆件的变形加以限制，如工程中使用的传动轴、车床主轴等变形过大会造成机器不能正常工作；而有些结构又需要杆件有较大的变形，如汽车上所使用的叠板弹簧，只有当弹簧有较大变形时，才能起缓冲作用。在结构的设计中，无论是限制杆件的变形，还

2、是利用杆件的变形，都必须掌握计算杆件变形的方法。本章将具体讨论杆件轴向拉伸（或压缩）、圆轴扭转和弯曲三种情况下的杆件变形。研究杆件变形的目的，一方面是为了分析杆件的刚度问题，另一方面则是为了求解超静定问题。第一节杆件轴向拉压变形当杆件承受轴向载荷时，其轴向尺寸和横向尺寸均发生变化，杆件沿轴线方向的变形，称为轴向变形（axialdeformation）；垂直于轴线方向的变形，称为横向变形（lateraldeformation）。1．拉压杆的轴向变形与胡克定律实验表明，杆件受拉时，轴向尺寸增大，横向尺寸缩小，杆

3、件受压时，轴向尺寸缩小，横向尺寸增大。设拉压杆的横截面的面积为A，原长为l，在轴向拉力F作用下产生变形，如图4-1所示，变形后杆长为l1，则杆在轴线方向的伸长量为Δl是杆件长度尺寸的绝对改变量，称为绝对变形，表示整个杆件沿轴线方向总的变形量，绝对变形不能说明杆件的变形程度。要度量杆件变形程度的大小，必须消除杆件原有尺寸的影响，杆件均匀变形时杆件沿轴线方向的相对变形，即轴向线应变（axialstrain）为其中ε为杆件轴线方向的线应变，是无量纲量，拉伸时为正，压缩时为负。实验表明，对于工程中的大部分材料，当杆

4、内应力在一定范围（比例极限）内时，杆的变形量与外力和杆的原长成正比，与杆的横截面面积成反比，并引入比例常数弹性模量，则可以得到杆件变形的计算公式为上述为描述弹性范围内杆件承受轴向载荷时力与变形的胡克定律（Hooke’slaw），适用于等截面常轴力拉压杆。在比例极限内，拉压杆的轴向变形与材料的弹性模量及杆的横截面面积成反比，乘积EA称为拉压杆的抗拉压刚度（tensileorcompressionrigidity）。显然，对于给定长度的等截面拉压杆，在一定的轴向载荷作用下，抗拉压刚度EA越大，杆的轴向变形就越小

5、。对于轴向力、横截面面积或弹性模量沿杆轴逐段变化的拉压杆，如下图所示，其轴向变形为对于轴力和横截面面积沿轴向连续变化的情况，其轴向变形量为将式等号两边同除以杆长，即得到或上式为胡克定律的另一种表达式。2．拉压杆的横向变形与泊松比如图所示，设杆件的原宽度为b，在轴向拉力作用下，宽度变为b1，横向变形量为Δb=b1-b，则横向应变为显然，如果杆件是如图所示的拉伸变形，则ε′为负值，即轴向拉伸时，杆沿轴向伸长，其横向尺寸减小；轴向压缩时，杆沿轴向缩短，横向尺寸增大。也就是说，轴向的正应变与横向的正应变的符号是相反

6、的。通过实验发现，当材料在弹性范围内时，拉压杆的轴向正应变ε与横向正应变ε′成正比。用μ来表示横向正应变ε′与轴向正应变ε之比的绝对值，有或式中，比例常数μ称为泊松比（Poissonradio）。在比例极限内，泊松比是一个材料的弹性常数，不同材料具有不同的泊松比，大多数各向同性材料的泊松比例4-1圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直径d。【解】（1）变形

7、分析。AB段和BC段的轴力分别为FN1=2FFN2=F杆AC的总伸长为（2）直径设计。按照设计要求，总伸长Δl不得超过许用变形[Δl]，即要求例4-1圆截面杆如图4-3所示，已知F=4kN，l1=l2=100mm，弹性模量E=200GPa。为保证杆件正常工作，要求其总伸长不超过0.10mm，即许用轴向变形[Δl]=0.10mm。试确定杆的直径d。由此得可以取直径为3．桁架的节点位移桁架的变形通常用节点的位移（displacement）表示，现以下图所示桁架为例，说明桁架节点位移的分析方法。例4-2桁架是由1

8、、2杆组成，通过铰链连接，在节点A承受铅垂载荷F=40kN作用。已知杆1为钢杆，横截面面积A1=960mm2，弹性模量E1=200GPa，杆2为木杆，横截面面积A2=2.5×104mm2，弹性模量E2=10GPa，杆2的杆长为1m。求节点A的位移。【解】（1）利用截面法，可以求得1、2两杆的轴力分别为（拉力）（压力）由胡克定律可以求得两杆的变形分别为（2）求节点A的位移。节点A的水平位移与铅垂位移分别为（↓）（←