二面角专题习题

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx二面角专题习题【精品文档】求二面角专题【精品文档】【精品文档】4【精品文档】【精品文档】5【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】如何用空间向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，诸如定义法、三垂线法、垂面法、射影法、向量法等若干种。而这些方法中最简单易学的就是向量法，但在实际教学中本人发现

2、学生利用向量法求解二面角还是存在一些问题，究其原因应是对向量法的源头不尽了解。本文就简要介绍有关这类问题的处理方法，希望对大家有所帮助。在立体几何中求二面角可归结为求两个向量的夹角问题．对于空间向量、，有cos＜，＞=．利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中二面角的问题．例1在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．证明：建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，依题意ABCVDxyz得=(0，1，0)，是面VA

3、D的法向量，设=(1，y，z)是面VDB的法向量，则=(1，－1，－)。∴cos＜，＞=－，【精品文档】【精品文档】又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角为锐角，所以其大小为BBCACADM例2如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M．⑴求证CD⊥平面BDM；⑵求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．解：⑴略BBCACADMyxzG⑵如图，以C为原点建立坐标系.设BD中点为G，连结BG，则依G(，，)，=(－

4、，，)，=(－，－，)，∴·=0，∴BD⊥BG．又CD⊥BD，∴与的夹角等于所求二面角的平面角．∴cos==－．所以所求二面角的大小等于－arccos．例3如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．求二面角C—PB—D的大小【精品文档】【精品文档】解：zPFEDABCyxG如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设设点F的坐标为，=，则．从而．所以=．由条件EF⊥PB知，·=0，即，解得．∴点F的坐标为，且，，∴·，即，故

5、是二面角C—PB—D的平面角．∵·=，且，，∴，∴．所以，二面角C—PB—D的大小为．【精品文档】【精品文档】xyzABBA例4已知三棱柱—AB中，平面⊥平面，∠=，∠=，且==2，=，求二面角—AB—的大小．解：以为原点，分别以，所在的直线为x，y轴，过点且与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．如图，则(0，0，0)，(0，1，)，A(，0，0)，(，1，)，B(0，2，0)．∴=(－，1，)，=(－，2，0)．显然为平面的法向量，取=(0，0，1)，设平面的法向量为=(x，y，z)，则·=0，·=0．

6、即，令y=，x=2，z=1，则=(2，，1)．∴cos＜，＞===，即＜，＞=arccos．故二面角—AB—的大小为arccos．【精品文档】【精品文档】【精品文档】