异面直线复习教案

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1、异面直线复习教案目的：．1．掌握异面直线所成角的概念及求异面直线所成角的常用方法。２．掌握求角计算题的步骤：“一作，二证，三计算”，思想方法是将空间问题转化为平面问题即“降维”的思想方法３.了解异面直线的公垂线、公垂线段的定义；４．掌握异面直线的距离的概念，并会解决距离的问题过程：一、知识点：1．异面直线所成角：１）定义：设a、b是异面直线，过空间任一点O引　　　　　　　　　，则所成的锐角(或直角)，叫做异面直线a、b所成的角.Oab(2)范围：２、异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线。３、公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。４、两条

2、异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；５、公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；６、两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度。说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离。即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离。三、相关知识：１、点到平面的距离：２、直线到与它平行平面的距离：3、两个平行平面的公垂线、公垂线段：4、两个平行平面的距离：５．正弦定理：a=2RsinAa=2RsinA；６．余弦定理：四、典型例题(一)两异面直线夹角求法例1

3、、在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ADCBFEM求异面直线A1B和B1C所成的角；和A1B成角为60°的面对角线共有条。例2、在三棱锥A-BCD中AD=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF=，求AD和BC所成的角∠EMF=120º切记:别忘了角的范围!!例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.求异面直线AB1与BD1所成角；CA1C1ADBD１CC1ADBA1B1OEFND1例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE所成的角例5、如图，在三棱锥D－ABC中，DA⊥平面ABC，∠A

4、CB=90°，∠ABD=30°，AC=BC，求异面直线AB与CD所成的角的余弦值。ABCDABCDPEM思路一：平移1）固定CD，移动AB,2)：固定AB，2）移动CD，3)：同时移动AB，CD，思路二：补形思路三：向量方法1)建立空间直角坐标系以AB为Y轴,以AD为Z轴,交点为原点,设AD长为a,所以AB与CD所成的角的余弦值为心注意:不能写成2、直接用向量运算102

5、CD

6、=uuur解:设AD长为1,所以AB与CD所成的角的余弦值为归纳小结:1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线，

7、构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。3)、空间向量法:1、建立空间直角坐标系，设出有关点的坐标;2、也可以不建立空间直角坐标系.两种方法都是运用两向量夹角公式：cos〈a,b〉=(二)两异面直线距离求法例6、如图已知是两条异面直线，所成的角为，点分别在直线上，线段是公垂线段，且，求线段的长。说明：（1）由上例：的长是异面直线上任意两点的距离，的长是异面直线的距离；（2）当时，的长的运算中取＂－＂。例7、已知是所在平面外的一点，分别是和的中点，，，（1）求

8、证：是的公垂线；（2）当成角时，求间的距离。例8、如图直二面角中，两点分别在平面内，，与平面所成的角分别是和，求两点在棱上的射影间的距离。例9、已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，（1）求证：是异面直线和的公垂线；（2）求异面直线和的距离；（3）求与间的距离。五、课时小结：1、异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。2、当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为90º

9、，也是不可忽视的办法。3、异面直线的距离的概念；异面直线的距离的求法：找出垂线段并证明，求垂线段的长；距离的求法：（1）向量；（2）坐标公式；（3）解三角形。点到面的距离的概念及求法（转化为点点距）；直线到与它平行的平面的距离的概念及求法（转化为点面距）；两个平行平面的距离的概念及求法；异面直线的距离的概念及求法（找出公垂线段或转化为线面距离）。*补充：空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线——有且仅有一个公共点；平行直线——在同一平面内，没有公共点；异面直线——不同在任何一个平面