“哥德巴赫猜想”讲义(第10讲)

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1、“哥德巴赫猜想”讲义（第10讲）“哥德巴赫猜想”证明（5）主讲王若仲第9讲我们讲解到了引理9，这一讲我们开始从孙子—高斯定理讲起。不曾想2000多年前我国孙子发现的原理现在还能派上大用场。孙子—高斯定理：如果正整数m1，m2，m3，…，mt两两互质，那么同余方程组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，t）有无穷多解,且这些解关于模M=m1·m2·m3…mt同余，x≡（a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+…+atMt´Mt）（modM），其中Mi=M/mi，而Mi´是满足Mi´Mi≡1（modmi）的正整数。证明：因为（

2、mi、mj）=1（i≠j），所以（Mi、mi）=1（i=1,2,3,…，t），从而Mix≡1（modmi）有唯一解，则x≡Mi´（modmi）。又因M=Mimi，Mi´是满足Mi´Mi≡1（modmi）的正整数，设Mi´Miai=himiai+ai，我们令hi=m1·m2·m3…mi-1·mi+1…mt，令a=a1+a2+a3+…+at，则a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+…+atMt´Mt≡a（modm1m2m3…mt），即x≡（a1M1´M1+a2M2´M2+a3M3´M3+…+atMt´Mt）（modM）是同余式组x

3、≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，t）的一个解。再说因为正整数m1，m2，m3，…，mt两两互质，那么同余方程组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，t）有无穷多解,且任一解均可化为m1·m2·m3…mtu+b的形式，其中u为正整数，b为整数，0≤2b＜m1·m2·m3…mt，而（m1·m2·m3…mtu+b）÷（m1·m2·m3…mt）的余数为b，故同余方程组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，t）的任一解关于模M=m1·m2·m3…mt同余。若x1，x2均适合同余式组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，

4、t），则x1≡a（modm1m2m3…mt），x2≡a（modm1m2m3…mt），所以x1≡x2（modm1m2m3…mt），又因（mi、mj）=1（i≠j），所以x1≡x2（modm1m2m3…mt），即x1≡x2（modM），故同余式组x≡ai（modmi）（i=1,2,3,…，t）的解唯一，即就是余数唯一。同余性质定理1：若a≡b（modm），（k，m）=1，k为正整数，则ka≡kb（modkm）。证明：因为a≡b（modm），我们设a=mu+r，b=mu´+r，r＜m，又因为（k，m）=1，k为正整数，则ka=kmu+kr，k

5、b=kmu´+kr，而kr＜km，故ka≡kb（modkm）。同余性质定理2：若a≡b（modm），b≡c（modm），则a≡c（modm）。证明：因为a≡b（modm），我们设a=mu+r，b=mu´+r，r＜m，又因为b≡c（modm），又设c=mu"+r，显然a≡c（modm）。参考文献[1]戎士奎，十章数论（贵州教育出版社）1994年9月第1版[2]闵嗣鹤，严士健，初等数论（人民教育出版社）1983年2月第6版[3]刘玉琏，付沛仁，数学分析（高等教育出版社）1984年3月第1版[4]王文才，施桂芬，数学小辞典（科学技术文艺出版社

6、）1983年2月第1版二〇一四年四月十七日2