“哥德巴赫猜想”讲义(第22讲)

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1、“哥德巴赫猜想”讲义（第22讲）“任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差”证明（1）主讲王若仲前面我们讲了“哥德巴赫猜想”的证明，这一讲开始我们讲“任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差”的证明。“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题，与“哥德巴赫猜想”是一对姊妹数学问题，要解决的难度是相当的。为了证明“任一偶数均可表为两个奇素数之差”这个数学问题，我采用“顺筛”和“逆筛”这两种筛法，并且找到了筛法公式Y=m（1-d1÷p

2、1）（1-d2÷p2）（1-d3÷p3）…（1-dt-1÷pt-1）（1-dt÷pt），其中di=1或2（i=1，2，3，…，t）。即任意给定一个比较大的偶数2m（m≥3），设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√4m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N，对于“2m=奇数-奇数”（m≥3）来说，就只有下面几种情形：（1）2m=奇合数-奇合数，（2）2m=奇合数-奇素数，（3）2m=奇素数-奇合数，（4）2m=奇素数-奇素数，（5）2m=奇合数-1，（6）2m

3、=奇素数-1。我们的目的就是要筛除掉（1）和（2）以及（3）和（5）或（6）情形中的全体奇数（因为（5）和（6）的情形不可能同时成立）。但是下面这两种情形我们不必分析讨论，①7第7页共7页偶数2m=q-p，p和q均为奇素数；②集合{（2m+p1），（2m+p2），（2m+p3），…，（2m+pt）}中至少有一个奇数为奇素数。因为这两种情形，偶数2m已经可表为“奇素数-奇素数”。我们利用上面这个筛法公式，就能够明确的判定在任意设定的集合{1，3，5，7，9，…，（4m-1）}中，完全可以筛除掉集合{

4、1，3，5，7，9，…，（4m-1）}中的全体奇合数，完全可以筛除掉偶数2m分别加上集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数，完全可以筛除掉集合{（2m+1），（2m+3），（2m+5），（2m+7），（2m+9），…，（4m-1）}中的每一个奇合数分别减去2m而得到的全体奇数；最后集合中剩下的奇数必定只满足“奇素数-奇素数=2m”的情形。定理6：任一不小于4的偶数E，偶数E均可表为两个均不大于该偶数E两倍的奇素数之差。证明：对于任一比较大的偶数2m，m∈N，我

5、们设奇素数p1，p2，p3，…，pr均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，r），r∈N；设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√4m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N。因为偶数2m=（4m-1）-（2m-1）=（4m-3）-（2m-3）=（4m-5）-（2m-5）=（4m-7）-（2m-7）=…=（2m+3）-3=（2m+1）-1。对于“奇数-奇数=2m”的情形，则有下列几种情形：⑴、奇合数-奇合数=2m，⑵、奇合数-奇

6、素数=2m，⑶、奇素数-奇合数=2m，7第7页共7页⑴、奇素数-奇素数=2m，⑵、奇合数-1=2m，⑶、奇素数-1=2m，所以关于“2m=奇数-奇数”的情形，我们具体分析如下：（ⅰ）、对于偶数2m，设不大于偶数2m的全体奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，…，H}，u为集合{1，3，5，7，9，…，H}中元素的个数，设不大于偶数4m的全体奇数组成的集合为{1，3，5，7，9，…，M}，W为集合{1，3，5，7，9，…，M}中元素的个数，由引理5可知，若要在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除

7、全体奇合数，那么只须在集合{1，3，5，7，9，…，M}中筛除属于集合{3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}中的全体元素，筛除属于集合{3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}中的全体元素，筛除属于集合{3p3，5p3，7p3，9p3，…，（2m3-1）p3}中的全体元素，…，筛除属于集合{3pr，5pr，7pr，9pr，…，（2mr-1）pr}中的全体元素，…，筛除属于集合{3pt，5pt，7pt，9pt，…，（2mt-1）pt}中的全体元素。其中（2m1-1

8、）p1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m2-1）p2为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2m3-1）p3该形式下为不大于奇数M的最大奇数，…，（2mr-1）pr为该形式下不大于奇数M的最大奇数，…，（2mt-1-1）pt-1为该形式下不大于奇数M的最大奇数，（2mt-1）pt为该形式下不大于奇数M的最大奇数。（ⅱ）、我们令集合A={3p1，5p1，7p1，9p1，…，（2m1-1）p1}∪{3p2，5p2，7p2，9p2，…，（2m2-1）p2}∪{3p3，5p3，7p3，9