“哥德巴赫猜想”讲义(第11讲)

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1、“哥德巴赫猜想”讲义（第11讲）“哥德巴赫猜想”证明（6）主讲王若仲第10讲我们讲解到了孙子—高斯定理，这一讲我们从定理1讲起。也就是开始进入核心内容的讲解。定理1：对于任何一个比较大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，…，pt均为不大于√2m的全体奇素数（pi＜pj，i＜j，i、j=1，2，3，…，t），t∈N，且偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，…，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，…，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，…，m2p2}∩{p3，2p3

2、,3p3，4p3，5p3，…，m3p3}∩…∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，…，mtpt}中正整数的总个数与集合{（2m-p1），（2m-2p1）,（2m-3p1），（2m-4p1），（2m-5p1），…，（2m-m1p1）}∩{（2m-p2），（2m-2p2）,（2m-3p2），（2m-4p2），（2m-5p2），…，（2m-m2p2）}∩{（2m-p3），（2m-2p3）,（2m-3p3），（2m-4p3），（2m-5p3），…，（2m-m3p3）}∩…∩{（2m-pt），（2m-2pt）

3、,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），…，（2m-mtpt）}中正整数的总个数相等。其中m1p1为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m2p2为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，m3p3为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数，…，mtpt为对应的集合情形下不大于偶数2m的最大正整数。7证明：对于集合{（2m-p1），（2m-2p1）,（2m-3p1），（2m-4p1），（2m-5p1），…，（2m-m1p1）}，我们令2m-m1p1=h1，因为m1p1为对应的集

4、合情形下不大于偶数2m的最大正整数，显然h1＜p1，那么2m-（m1-1）p1=2m-m1p1+p1=p1+h1，2m-（m1-2）p1=2m-m1p1+2p1=2p1+h1，…，（2m-2p1）=2m-[m1-（m1-2）]p1=（m1-2）p1+2m-m1p1=（m1-2）p1+h1，（2m-p1）=2m-[m1-（m1-1）]p1=（m1-1）p1+2m-m1p1=（m1-1）p1+h1；那么集合{（2m-p1），（2m-2p1）,（2m-3p1），（2m-4p1），（2m-5p1），…，（2m-

5、m1p1）}={h1，（p1+h1），（2p1+h1），…，[（m1-2）p1+h1]，[（m1-1）p1+h1]}。我们令2m-m2p2=h2；2m-m3p3=h3；…；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-p2），（2m-2p2）,（2m-3p2），（2m-4p2），（2m-5p2），…，（2m-m2p2）}={h2，（p2+h2），（2p2+h2），…，[（m2-2）p2+h2]，[（m2-1）p2+h2]}；集合{（2m-p3），（2m-2p3）,（2m-3p3），（2m-4p3），（2

6、m-5p3），…，（2m-m3p3）}={h3，（p3+h3），（2p3+h3），…，[（m3-2）p3+h3]，[（m3-1）p3+h3]}；…；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），…，（2m-mtpt）}={ht，（pt+ht），（2pt+ht），…，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。因为前面令2m-m1p1=h1；2m-m2p2=h2；2m-m3p3=h3；…；2m-mtpt=ht。根据前面得到的集合的情形，那么有2

7、m≡h1（modp1），2m≡h2（modp2），2m≡h3（modp3），…，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-p1），（2m-2p1）,（2m-3p1），（2m-4p1），（2m-5p1），…7，（2m-m1p1）}对应同余方程x1≡h1（modp1）；集合{（2m-p2），（2m-2p2）,（2m-3p2），（2m-4p2），（2m-5p2），…，（2m-m2p2）}对应同余方程x2≡h2（modp2）；集合{（2m-p3），（2m-2p3）,（2m-3p3），（2m-4p3），（2m-

8、5p3），…，（2m-m3p3）}对应同余方程x3≡h3（modp3）；…；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），…，（2m-mtpt）}对应同余方程xt≡ht（modpt）。由孙子—高斯定理可知，同余方程组x≡hi（modpi）（i=1,2,3,…，t）有无穷多解,且这些解关于模M=p1p2p3…pt同余。又从前面得到的集合的情形可知，偶数2m是同余方程x≡h1（modp1）的解，偶