“哥德巴赫猜想”讲义(第1讲)

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1、“哥德巴赫猜想”讲义（第1讲）“哥德巴赫猜想”的来历主讲王若仲哥德巴赫（ChristianGoldbach），1690年3月18日出生于普鲁士的哥尼斯堡一个官员家庭。当时的普鲁士是德意志的一个邦国，哥尼斯堡（Konigsberg）是一座历史名城，德国的很多重要历史事件在这里发生。秀丽的小城哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿全城，给城市带来了灵气。这条河有两条支流，它们环绕着一个小岛，在这两条支流上有七座桥，城里的居民常到这里散步，久而久之，人们就有了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥？这就是有名的“哥尼斯堡七桥问题”。当时居住在俄国圣彼得堡的大数学家欧拉知道这个问题之后

2、，进行了研究。他将陆地和小岛用点表示，而将七座桥用线表示，得到了一个用七条线组成的图形，于是七桥问题就变成了能否一笔画出这个图形的问题。1736年欧拉用严格的数学方法证明了这种画法是不存在的，就是说不可能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥。欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究，推动了一个重要的数学分支的产生，这个分支叫做拓扑学。哥德巴赫年轻时在家乡的哥尼斯堡大学学习数学和医学。20岁大学毕业，由于年轻，渴望出去看看外面的世界，加之家庭状况也不错，于是1710年之后，哥德巴赫-6-第-6-页共6页云游欧洲，结识了不少当时欧洲的数学名家。哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。莱布尼

3、茨（G.W.Leibniz，1646-1716）对于数学的最大贡献是发明了微积分。哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬勃的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。接着哥德巴赫又到伦敦访问棣莫弗。棣莫弗（DeMoivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫害移居英国。棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大的贡献。概率论是研究偶然性（或者随机现象）的数学分支，它的起源与掷骰子赌博的输赢问题有关。哥德巴赫对于理论研究和实际问题都很有兴趣。后来哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利家族的几位成员

4、，其中丹尼尔•伯努利和哥德巴赫关系密切。16世纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时的安特卫普辗转来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统，也有个别人行医，似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后，却在三代人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。欧洲的旅行，使哥德巴赫不断开阔眼界，增长了学识，还在学术圈里交了不少朋友，收获颇丰。1724年哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡，此时的哥德巴赫已经34岁。俄罗斯彼得大帝听取莱布尼茨的建议，1724年1月颁布谕旨，决定成立圣彼得堡科学院，彼得大帝拟定了科学院章程，其中强调，科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题

5、做出贡献，-6-第-6-页共6页章程中的重要一条是，邀请国外的一些知名学者到科学院工作，以带动俄罗斯科学的发展。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝，建议成立北京科学院，可惜未被采纳。1725年哥德巴赫又到俄罗斯。丹尼尔•伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院，哥德巴赫就有了共同研究的伙伴，他们时常徜徉在涅瓦河畔，切磋讨论数学问题。1728年欧拉也到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年，他是约翰•伯努利的学生，也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。在数学的历史上，人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数学家。由于丹尼尔的关系，哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了，涅瓦河畔散

6、步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁，哥德巴赫欣赏欧拉的聪明和勤奋，欧拉钦佩哥德巴赫见多识广，他们之间是一种忘年之交。后来欧拉由于身体原因去了德国柏林，哥德巴赫与远在德国柏林的欧拉一直保持通信，讨论各种数学问题。1742年6月7日在莫斯科的哥德巴赫给柏林的欧拉一封信，同年6月30日欧拉给哥德巴赫回信。哥德巴赫在信中说：“对于那些虽未切实论证但很可能是正确的命题，我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后万一证明它们是错误的，也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经证明的那样，费尔马关于 Fm给出一列素数的想法是不正确的，但如果能够证明 Fm可以用唯一的方式表成两个平方数之

7、和的话，那也是一个很了不起的结果”。当 m ≥1时， Fm 是形如4n+1的正整数。由上述费尔马的一个命题，如果 Fm 是素数的话，那么 Fm 自然就可以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是，在无法保证Fm 是素数的情况下，看看能否证明弱一点的结果-6-第-6-页共6页“Fm 可以用唯一的方式表成两个平方数之和”。欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。哥德巴赫在信中又说：“类似地，我也斗胆提出一个猜想：任何由两个素数所组成的数都是任意多个数之和，这些数的多少随我们的意愿而