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1、论述圆与多边形的关系我们生活中处处存在与各种各样的几何图形，其他最为广泛的为圆，或者也可以说圆是万图形的标准，作三角形、作正多边形、作椭圆………都先与一圆作为标准而运用圆来进行作图，而生活中也是处处存在于圆的图形，小到我们生活中所用的杯子、体育用品篮球、女生减肥健身用的呼啦圈、大到我们开的奥迪汽车标志，奥运五环……那么圆与多边形的关系又是怎样？有怎样的关系？怎样判断圆与多边形关系？这个都是我所想要论述的。我们都知道圆由一点就可以确定了圆这个图形，它的大小则由它的半径所决定。从初中接触的几何中，我们就知道，各边相等、各角也相等的多边形是正多边形。无论哪个图形
2、的几何证明，我们首先要弄清这个图形所具有的性质和定理。1.垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。2.平分（直径除外）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等,弦心距相等。4.在同圆或等圆中，同弧或等所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。5.半圆所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。6.圆内接四边形的所对角互补。7.……………….只有知道了圆所具有的性质和定理，然后我们再根据题目要求再出发，运用相关性质去解决问题，这个方法无论在学习还是生活都是可以用到的。知道问题，再
3、从问题出发，这样才能更集中的解决问题。而不是从已知条件出发去解决问题。我们先从圆的正多边形的关系，接着才去论述圆与除了正多边形外的多边形。下面，我们先以圆内接正五形简单下手。一．圆与正多边型（1）圆内接正多边形（2）圆外接正多边形（1）如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.其实，从上述简单的证明过程中，我们可以知道圆被N等分后，顺次连接各分点，便得到一个正N边形，再把这N段弧的中点取出，连同前面的N个分点得到到2N个点，顺次连接着2N个点，便得到正2N变形，这样的方法我们就可以做出圆内接的正N边形。利用正N边形，我们也可以得到许
4、多美丽的图案，而实际运用在我们的生活中，增添生活色彩。（2）圆外接的正多变形（2）如图，把⊙O分成相等的5等分，经过5分点作圆的切线，相邻切线交点为顶点的多边形就得到五边形ABCDE。其实，我们知道圆外接的正多边形是从圆内接的正多边形转化而来。所以，我们可以先证明出圆内接的正多变形，再进一步证明圆外接的正多变形。我们可以作辅助线，构造出圆内接的正多边形。如下图：从（1）中我们已经知道圆内接的正多边形的是如何证明了，从上述中，我们可以知道圆外接正多边形的作法是先把圆分成N等分，经过各分点作圆的切线，再以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正N边形。无
5、论是圆的内接或是外接的正多边形，我们都可以弧的角度出发去证明，利用等弧等等长，再从角度出公切线发接着证完。外接圆的正多边形则可以利用圆外点引圆的切线的这一点来证明。这些都是证法之一。二．圆与多边形（正多边形除外）我们知道不规则的多边形有很多很多，然而圆与多边形的关系也会变得复杂的多了，无论是它的作法还是证法。下面，我只论述其中一题，希望从这一题中可以找出些许的规律与方法。（1）圆内接的多边形圆内接的△ABC的AH等于圆的半径，H若为锐角△ABC的垂心,证：∠BAC=60ºABCHD证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD∵∠DBC=90º,∴
6、CD是直径,则∠CAD=90º由题,可得AH⊥BC,BH⊥AC∴BD∥AH,AD∥BH∴四边形ADBH是□∴AH=BD又∵AH等于外接圆的半径(R)∴BD=R,而CD=2R∴在Rt△BCD中,CD=2BD,即∠BCD=30º∴∠BDC=60º又∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60º（1）圆外接的多边形。在△ABC中,M是BC的中点,I是内心,AH⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE与内切圆半径相等.证明:如图所示作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径,又∵M为BC的中点,I为内心,则AL
7、∥ＭＩ 又∵AH⊥BC∴AH∥LK又∵点E点I分别都在AH、LK上∴AE∥LI∴四边形AEIL为平行四边形∴AE＝LI圆内接的无论是怎样复杂的一个图形，我们都可以把这个图形分解成我们所接触过的几何图形，然后根据问题出发，然后结合圆与分解图形的性质与定理再利用已知条件解决问题。例如（1）题让我们证角的大小，我们则可以三角形的勾股定理和直角三三角形边的关系得到，所以证明的任务就集中于如何构造出一个直角三角形，当然这也要考虑题目所给的条件，充分利用条件。相信每一条件的存在都是由证明价值的。从论述的角度出发，圆与多边形的关系首先分为圆与正多边形的内切和外切，这
8、一点我已说明了图形的作法与证法，因为都是比较简单，更重要的是它可以
