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《2020_2021学年高中数学第二章数列2.4.2等比数列的性质同步课件新人教A版必修520210325252.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时等比数列的性质主题 等比数列的性质1.在等差数列中有an=am+(n-m)d,类比此结论,在等比数列{an}中an与am满足什么关系式呢?提示:an=am·qn-m.证明如下:因为=qn-m,所以an=amqn-m.2.在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*),类比此性质,在等比数列{an}中有什么性质呢?并证明.提示:在等比数列{an}中,若m+n=p+λ(m,n,p,λ∈N*),则am·an=ap·aλ.证明如下因为am·an=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2,ap·aλ=a1qp-1·a1qλ-1
2、=qp+λ-2,又m+n=p+λ,故am·an=ap·aλ.3.观察下面几个等比数列中项的变化趋势,指出它们的单调性.(1)-1,…(2)9,3,1,…(3)-1,-2,-4,-8,-16,…(4)1,…(5)2,2,2,2,2,…提示:(1)项是增加的,且a1<0,00,01,是单调递减数列.(4)项是摆动的,a1>0,q<0,不是单调数列.(5)项是不变的,a1>0,q=1,是常数列.结论:1.等比数列的常用性质设等比数列{an}的公比为q,则(1)a
3、n=amqn-m(m,n∈N*).(2)若m+n=k+l(m,n,k,l∈N*),则____________.am·an=ak·al2.等比数列的单调性(1)当a1>0,____或a1<0,______时,{an}为递增数列.(2)当____,0100q>1q=1【对点训练】1.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选D.由于公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.2.若数列{an}
4、为等比数列,则下列式子一定成立的是()A.a2+a5=a1+a6B.a1a9=a10C.a1a9=a3a7D.a1a2a7=a4a6【解析】选C.由等比数列{an}的性质知a1a9=a3a7.3.在等比数列{an}中,若a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,则a5·a6的值为()A.6B.-6C.-1D.1【解析】选B.因为a2,a9是方程x2-x-6=0的两根,所以,a2·a9=-6,因为数列{an}是等比数列,所以a5·a6=a2·a9=-6.类型一 利用等比数列的性质求解基本量【典例1】(1)(2019·定州高一检测)在递增的等比数列{an}中,a4,a6是
5、方程x2-10x+16=0的两个根,则数列{an}的公比q=()A.2B.±2C.D.或2(2)(2019·南昌高一检测)在等比数列{an}中,a6·a12=6,a4+a14=5,则=()A.或B.C.或D.或【解题指南】(1)由根与系数的关系得关于a4,a6的方程组,求得a4,a6再由{an}为递增数列,从而求出q的值.(2)根据等比数列的性质,得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得a4,a14的值,分类讨论求解,即可得到答案.【解析】(1)选A.因为a4,a6是方程x2-10x+16=0的两个根,所以解得或又因为等比数列{an}
6、是递增的,所以且q>1,则q==2.(2)选A.由题意,根据等比数列的性质,可得a6·a12=a4·a14=6,又由a4+a14=5,联立方程组,解得当时,q10=,此时当时,q10=,此时【方法总结】巧用等比数列的性质解题(1)解答等比数列问题的基本方法——基本量法①基本步骤:运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解;②优缺点:适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁.(2)利用等比数列的性质解题①基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;②优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一
7、定的思维含量.【跟踪训练】在等比数列{an}中,已知a3=9,a6=243,求a5.【解析】方法一:由已知a3=a1q2=9,a6=a1q5=243,所以q3==27,则q=3,a1=1,所以a5=a1q4=1×34=81.方法二:因为a6=a3q3,所以q3==27,q=3,所以a5=a3q2=9×32=81.类型二 等比数列性质的应用【典例2】(1)计算机的价格不断降低,若每件计算机的价格每年降低,现在价格为8100元的计算机3年后的价格可降为()A.300元B.900元C.2400元D.3600元(2)三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数
