金沙中学一校四题.doc

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1、金沙中学李健1．已知在上是增函数}，方程有实数解}，设，且定义在R上的奇函数在内没有最小值，则的取值范围是．.解：．又，，．由为R上的奇函数，且m>0，且m>0．，x∈．因，则在上单调递增，在上单调递减，．．ODCBAyx112．已知圆O：，O为坐标原点．（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．（ⅰ）求轨迹E的方程；（ⅱ）过轨迹E上一定点作相互垂直的两条直线，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设被圆O截得的弦长为，设被轨迹E截得的弦长为，求的最大值．（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条

2、弦，求线段OC长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以，所以，所以，在中，，所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，所以轨迹E的方程为；（ⅱ）设点O到直线的距离分别为，因为，所以，xODBA11Cy则，则≤4=，当且仅当，即时取“=”，所以的最大值为；xODBA11Cy（2）设正方形边长为a，，则，．当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在中，，即，由，此时；当A、B、C、D按逆时针方向时，在中，，即，由，此时，综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．yxO1-13．已知函数的图像如图所示，数列的前项的和，为数列的前

3、项的和，且.（1）求数列、的通项公式；（2）找出所有满足：的自然数的值（不必证明）；（3）若不等式对于任意的，恒成立，求实数的最小值，并求出此时相应的的值.解：（1）由题意得：，解之得:,当时，；当时，符合上式，故，.当时，当时，不符合上式，故.（2）当时，，且，不合当时，由题意可得：而方程只有满足条件，故当时，.（3）由题得：，对于一切，恒成立即令（，）则，当时，；当时，而，，故当时，的最小值为46.4．已知函数．（Ⅰ）求函数的极大值；（Ⅱ）若对满足的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；（Ⅲ）求证：对任意正数、、、，恒有．解：（Ⅰ）

4、∴的增区间为，减区间为和．极大值为．（Ⅱ）原不等式可化为由（Ⅰ）知，时，的最大值为．∴的最大值为，由恒成立的意义知道，从而（Ⅲ）设则．∴当时，，故在上是减函数，又当、、、是正实数时，∴．由的单调性有：，即．