2021年新高考数学复习考点扫描12 导数与不等式，函数零点等（解析版）.doc

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1、考点12导数与不等式、函数零点【考点剖析】1.最新考试说明：1．从近几年高考命题情况来看，对这部分内容的考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：（1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题；(（2）根据函数零点

2、（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题.【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．【答案】（1）减区间为，增区间为；（2）．【思路导引】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图像的走向，从而求得结果．【解析】（1）当时，，，令，解得，令，解得，∴的减区间为，增区间为．（2）若有两个零点，即有两个解，从方程可知，不成立，即有

3、两个解．令，则有，令，解得，令，解得或，∴函数在和上单调递减，在上单调递增，且当时，，而时，，当时，，∴当有两个解时，有，∴满足条件的的取值范围是：．【专家解读】本题的特点是灵活运用导数研究函数的性质，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养．解题关键是结合函数的图像研究问题．【2020年高考全国Ⅲ卷文数20】已知函数．（1）讨论的单调性：（2）若有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)．【思路导引】（1），对分和两种情况讨论即

4、可；（2）有三个零点，由（1）知，且，解不等式组得到的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可．【解析】（1）由题，，当时，恒成立，∴在上单调递增；当时，令，得，令，得，令，得或，∴在上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，有三个零点，则，且，即，解得，当时，，且，∴在上有唯一一个零点，同理，，∴在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，∴有三个零点．综上可知的取值范围为．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查导数与函数的零点，考查数形结合及分类讨论思想，考查数学运算、逻

5、辑推理、直观想象等学科素养．2.利用导数研究与不等式有关的问题是高考的热点，常以解答题形式出现，难度较大.常涉及不等式成立、恒成立、证明不等式、比较两数（两函数）大小问题等.问题的分类与解决思路：（1）不等式成立、恒成立问题：一般参变分离、转化为最值问题；（2）证明不等式、比较两函数大小问题：构造新函数，转化为最值问题.【2020年高考全国Ⅱ卷理数21】已知函数．（1）讨论在区间的单调性；（2）证明：；（3）设，证明：．【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析

6、．【思路导引】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式．【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增．(2)注意到，故函数是周期为的函数，结合(1)的结论，计算可得，，，据此可得，，即

7、．(3)结合(2)的结论有：．【专家解读】本题的特点是注重导数的灵活运用，本题考查了导数与函数的单调性，考查应用导数证明不等式，考查数学运算、逻辑推理、数学建模等学科素养．解题关键是应用三角函数的有界性进行合理放缩证明不等式．【2020年高考天津卷20】已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析．【思路导引】(Ⅰ)(i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几

8、何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；(Ⅱ)首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论．【解析】(Ⅰ)(i)当k=6时，，．可得，，∴曲线在点处的切线方程为，即．(ii)依题意，．从而可得，整理可得：，令，解得．当x变