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1、圆与圆锥曲线的交汇性问题例析随着新课程标准的不断推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生了很大的变化，对圆的要求大大提高，对圆锥曲线的要求则相对降低.因此，近几年圆与圆锥曲线的交汇性问题渐渐成为高考的命题热点，此类问题不仅将圆的内容及性质纳于其中，也将对圆锥曲线的要求体现出来，是当前一种新的命题趋势.下面精选2014年高考中的部分试题并予以分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.1.圆与椭圆的交汇性问题图1例1(2014年陕西卷文20)如图1，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F1(-c，0)、F2(c，0).(1)求椭圆的
2、方程；(2)若直线l：y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足
3、AB
4、
5、CD
6、=534,求直线l的方程.分析(1)构造关于a,b,c的方程组求解；(2)利用直线与圆的位置关系得
7、CD
8、，将直线方程与椭圆方程联立得方程组，利用根与系数的关系得
9、AB
10、，构造关于m的方程求m，进而得出直线I的方程.解析(1)由题设知b=3,ca=12，b2=a2-c2,解得a=2,b=3，c=1,•••椭圆的方程为x24+y23=1.（2）由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1，•••圆心到直线I的距离d=2
11、m
12、5,由db>0）的左、右焦点分别为F1、
13、F2，右顶点为A,上顶点为B，已知
14、AB
15、=32
16、F仆2
17、.（1）求椭圆的离心率；（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点0的直线I与该圆相切.求直线I的斜率.分析（1）直接利用
18、AB
19、=32
20、F1F2
21、及椭圆中a，b，c之间的关系得到a，c的关系，进而求得离心率；（2）利用F1P?F1B=0求出P点坐标满足的条件，再由P点坐标满足椭圆的方程，求出P点坐标，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解.解析（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）.由
22、AB
23、=32
24、F1F2
25、，可得a2+b2=3c2.又b2=a2-c2，贝Uc2a2=12，所
26、以，椭圆的离心率e=22.（2）由（1）知，a2=2c2,b2=c2，故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.设P(x0,y0),由F1(-c,0),B(0,c),有F1P=(xO+c,y0)，F1B=(c，c).由已知,有F1P?F1B=0,即(x0+c)c+y0c=0.又cz0,故有x0+y0+c=0①又因为点P在椭圆上,故x202c2+y20c2=1②由①和②可得3x20+4cx0=0,而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c,代入①得y0=c3，即点P的坐标为(-43c,c3).设圆的圆心为T(x1,y1),贝Ux1=-43c+02=-23c，y1=c3+c2=23c，进而圆的半径
27、r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.设直线I的斜率为k，依题意，直线I的方程为y=kx.由l与圆相切，可得
28、kx1-y1
29、k2+1=r，即
30、k23c+23c
31、k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±15.所以,直线I的斜率为4+15或4-15.命题立意知识：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.能力：通过用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及运用方程思想解决问题的能力.试题难度：较大.1.圆与双曲线的交汇性问题例3（2014年江西卷文9）过双曲线C：x2a2-y2b2=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A
32、.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A、O两点（0为坐标原点），则双曲线C的方程为（）.A.x24-y212=1B.x27-y29=1C.x28-y28=1D.x212-y24=1解析先求出交点坐标，再结合已知条件求出双曲线的方程.由x=a，y=bax，解得x=a，y=b,•••A（a,b）.由题意知右焦点到原点的距离为c=4,右焦点坐标为（4,0）,由题意有（a-4）2+b2=4，即（a-4）2+b2=16.①又a2+b2=c2=16,②由①②解得a=2,b=23.•双曲线C的方程为x24-y212=1.故选A..能命题立意知识：双曲线的标准方程和渐近线的确定力：结合双曲线方程的
33、求解，考查运算求解能力和应用意识.试题难度：中等.图2例4（2014年辽宁卷理20）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图2）.双曲线C1:x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3.（1）求C1的方程；（2）椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P,求I的方程.分析（1）先求切线方程，再利用条件列出方程组求解字母a、b
