例析解析几何的交汇题型 专题辅导

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1、例析解析几何的交汇题型胡大波知识交汇题是考查学生分析问题、解决问题能力的重要方面，应注意这方面能力的培养。一、解析几何与三角函数的综合解析几何与三角函数的综合主要体现在焦点三角形中，解决这类题目应注意图形特点，用好正、余弦定理及面积公式以及圆锥曲线的定义。例1.椭圆与双曲线有公共焦点，设P是它们的一个交点，求证：（1）；（2）解：（1）设焦距在中，由余弦定理得：由对称性，设P是第一象限中的交点，则：再由<1>配方得：或（2）4二、解析几何与不等式的综合解析几何中的不等式综合问题一般运用“判别式”

2、或“点在圆锥曲线内、外”建立不等式关系，再运用一些简单不等式证明方法技巧。例2.设椭圆上相异两点的对称轴在x，y轴上的截距分别是m，n，求证：证明：设椭圆上相异的两点为，AB中点为得：（1）当时，，结论成立。（2）当时∴由<3>得：又<4>与<5>联立得：∵M在椭圆内部4三、解析几何中的最值问题最值问题的解法通常有两种：代数法与几何法。若题目明显体现出几何特征及意义，可利用几何法；若题目体现出明确的函数关系，可建立目标函数，求最值。例3.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个

3、椭圆上点的最远距离为，求这个椭圆方程。解：设椭圆方程为由得：故椭圆方程为设是椭圆上的任意一点，则若，则当时，，所以。若，则当时，，所以。而与矛盾。综上所述，所求椭圆方程为。4点评：本题通过建立函数关系式，使复杂的解析几何问题转化为熟悉的二次函数在给定区间的最值讨论，求解时一定要注意。例4.给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F为左焦点，当取最小值时，求B点坐标。解：由已知，左准线方程为，过B作左准线的垂线，垂足为N，过A作左准线的垂线，垂足为M。由椭圆的定义，得：所以（定值）。当且仅当B是

4、AM与椭圆交点时等号成立，此时。所以当取最小值时，B点坐标为。点评：本题关键是应用椭圆第二定义，将到焦点的距离转化为到准线的距离。4