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《2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第3课时用空间向量解决空间角与距离问题学案含解析新人教A版选修2_120210323282.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考第3课时 用空间向量解决空间角与距离问题内 容 标 准学 科 素 养1.理解两异面直线所成角与它们的方向向量之间的关系，会用向量方法求两异面直线所成的角．2.理解直线与平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求直线与平面所成的角．3.理解二面角大小与两个面法向量夹角之间的关系，会用向量方法求二面角的大小．4.理解点到面的距离，会用向量方法求点到平面的距离.应用直观想象发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第71页[基础认识]知识点一 空间角的向量求法(1)两异面直线所成角的X围是多少？(2)直线与平面所成的角是怎样定义的？它的取值X围是多少？(3)怎样作
2、出二面角的平面角？它的取值X围是多少？提示：(1)(0°，90°]．(2)直线与它在该平面上的射影所成的角，叫做直线与平面所成的角．取值X围为[0°，90°]．(3)过二面角棱上任一点O在两个半平面内分别作棱的垂线OA、OB，则∠AOB就是二面角的平面角．取值X围为[0°，180°]．(1)两异面直线l，m的方向向量分别是a，b，则异面直线所成的角α，有cosα＝
3、cos〈a，b〉
4、.-16-/16高考(2)直线与平面的方向向量和法向量分别为a，n，则直线与平面所成的角为β，则sinβ＝
5、cos〈a，n〉
6、.(3)如图AB、CD是二面角αlβ的两个半平面与棱垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈
7、AB，CD〉．知识梳理 空间三种角的向量求法空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它们相应的取值X围，结合它们的取值X围可以用向量法进行求解．角的分类向量求法X围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝
8、cos〈a，b〉
9、＝直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝
10、cos〈a，n〉
11、＝二面角设二面角αlβ为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
12、cosθ
13、＝
14、cos〈n1，n2〉
15、＝[0，π]知识点二 利用空间向量求距离知识梳理 点到平面的距离用空间向量法求点到平面
16、的距离具体步骤如下：-16-/16高考先确定平面的法向量，再求点与平面内一点的连线形成的斜线段在平面的法向量上的射影长．如图，设n＝(a，b，c)是平面α的一个法向量，P0(x0，y0，z0)为α外一点，P(x，y，z)是平面α内的任意一点，则点P0到平面α的距离d＝＝.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离，因此，只要掌握点到平面距离的求法，就可解决其他的距离问题．[自我检测]1．若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．－B.C．－D.答案：B2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于1
17、20°，则直线l与平面α所成的角等于( )A．120°B．60°C．150°D．30°答案：D3．二面角αlβ中，平面α的一个法向量为n1＝，平面β的一个法向量是n2＝，那么二面角αlβ的大小等于( )A．120°B．150°C．30°或150°D．60°或120°-16-/16高考答案：C授课提示：对应学生用书第72页探究一 利用向量方法求两异面直线所成角[教材P111习题3.2A组1题]如图，点M，N分别是正方体ABCDA′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点，求：(1)MN和CD′所成角的大小；(2)MN和AD所成角的大小．解析：以，，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，设正
18、方体棱长为1，则C(0,1,0)，D′(0,0,1)，A(1,0,0)，M，N，∴＝(0，－1,1)，＝(－1,0,0)，＝.(1)∵cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，即MN和CD′所成角的大小为60°.(2)∵cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝45°，即MN和AD所成角的大小为45°.-16-/16高考[例1] 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，试求直线EF和BC1所成的角．[解析]分别以直线BA，BC，BB1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝1，则B(0,0,0)，E，
19、F，C1(0,1,1)，所以＝，＝(0,1,1)．于是cos〈，〉＝＝＝，所以直线EF和BC1所成角的大小为60°.方法技巧 1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．(4)结合异面直线所成角的X围得到两异面直线所成角．2．求两条异面直线所成的角的两个关注点．(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦
