连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.docx

《连续函数的运算与初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.9连续函数的运算与初等函数的连续性.闭区间上连续函数的性质一、连续函数的和、积及商的连续性定理1设函数f(x)和g(x)在点x0连续则函数f(x)gx)f(xgx)f(x)(当g(x)0时)()(g(x)0在点x0也连续f(x)g(x)连续性的证明因为f(x)和g(x)在点x0连续所以它们在点x0有定义从而f(x)gx在点x0也有定义再由连续性和极限运算法则有()lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)f(x0)g(x0)xx0fxxx0xx0根据连续性的定义()gx在点x0连续()例1sinx和cosx都在区间()内连续故由定理3知tanx和cotx在它们的定义

2、域内是连续的三角函数sinxcosxsecxcscxtanxcotx在其有定义的区间内都是连续的二、反函数与复合函数的连续性定理2如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续那么它的反函数xf1(y)也在对应的区间Iy{y

3、yf(x)xIx}上单调增加(或单调减少)且连续证明（略）例2由于ysinx在区间[,]上单调增加且连续所以它的反函数yx22arcsin在区间[11]上也是单调增加且连续的同样yarccosx在区间[11]上也是单调减少且连续yarctanx在区间()内单调增加且连续yarccotx在区间()内单调减少且连续总之反三角函数arcsinx、arcco

4、sx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的定理3设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成0fg若limgx)u0而函数yf()在0连续则U(x)Dxx0ulimf[gx)]limf(u)f(u0)xx0uu0简要证明要证00当0

5、xx0

6、时有

7、fgx)]f(u0)

8、[(因为f(u)在u0连续所以00当

9、uu0

10、时有

11、f(u)f(u0)

12、gx)u0(xx0)所以对上述00当0

13、xx0

14、时又(有

15、g(x)u0

16、gxfu0从而

17、f[)](()

18、(2)定理的结论也可写成limf[g(x)]f[limg(x)]求复合函数f[g(x)]xx0xx0的极

19、限时函数符号f与极限号可以交换次序limf[u(x)]limf(u)表明在定理3的条件下如果作代换ug(x)那xx0uu0么求limf[g(x)]就转化为求limf(u)这里u0limg(x)xx0uu0xx0把定理5中的xx0换成x可得类似的定理例3求limx3x3x29解提示limx3limx31x3x29x3x296yx3是由yu与ux3复合而成的x29x29limx31函数yu在点u1连续g(x0)x3x2966定理4设函数yf[g(x)]由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成连Ux0)Do若函数ugx在点x0连续函数yfu在点u0gx0)(fg()()(续则复合函数y

20、f[(x)]在点x0也连续证明因为(x)在点x0连续所以lim(x)(x0)u0又yfu在点uu0连续所以limxx0xfu0fx0(f[()]([()])xx0)这就证明了复合函数f[(x)]在点x0连续例4讨论函数ysin1的连续性x解函数ysin1sinu及u1复合而成的x是由yxsinu当0a1)对于一切实数x都有定义且在区间()内是单调的和连续的它

21、的值域为(0)由定理4对数函数logaxaa1)作为指数函数ax的反函数在(>0区间(0)内单调且连续幂函数yx的定义域随的值而异但无论为何值在区间(0)内幂函数总是有定义的可以证明在区间(0)内幂函数是连续的事实上设x>0则uyxalogaxulogax复合而因此幂函数x可看作是由ya成的由此根据定理6它在(0)内是连续的如果对于取各种不同值加以分别讨论可以证明幂函数在它的定义域内是连续的结论基本初等函数在它们的定义域内都是连续的最后根据初等函数的定义由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论一切初等函数在其定义区间内都是连续的所谓定义区间就是包含在定义域内的区间初等

22、函数的连续性在求函数极限中的应用如果f(x)是初等函数且x0是f(x)的定义区间内的点则limfx)f(x0()xx0例5求lim1x2x0解初等函数f(x)1x2在点x00是有定义的所以lim1x211x0例6求limlnsinxx2解初等函数f(x)lnsinx在点x0是有定义的2所以limlnsinxlnsin0x22例7求lim1x21x0x解lim1x21lim(1x21)(1x21)x0xx0x(1x21)limx001x212x0例8求limloga(1