初三数学旋转相似讲义.docx

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1、专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。结论：⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）模型特例：共直角顶点的直角三角形相似当∠AOB=∠COD=90°时，除⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）外，还有结论⑶、BDODOBtanOCDtanOABACOCO

2、A⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则S四边形ABCD1ACBD2AD2BC2AB2CD2例题讲解例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF.0（1）如图1，若∠ACB=90,探究BF与CD间的数量关系；3，求BF（2）如图2，若tan∠ACB=的值；4CD（3）如图3，若△ABC中AC=BC=a，将△DEF绕点O旋转，设直线CD与直线BF交于点H，则SBCH最大值为__________（用含a的式子表示）。分析：（1）连OC，OD，△OBF≌△OCD，BF=CDB

3、EBODEOFFACDCA（2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFBBFOB1∠ACB==tanCDOC2tan∠ACB=3，求tan1∠ACB的问题，必须问题转化为已知42熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。由右图提示可得tan1∠ACB=1；23（3）由（2）△OBC∽△OFD,△ODC∽△OFB，蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°；又BC=a，定边定角，点H在以BC为直径的圆上，易求SBCHmax1a1a1a2224例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AG＝CE；求DF的值AG分析：如图2，

4、证△ABG△CBE，∴AG=CE如图2，连接BD，BF，DF，易证BDBF2，DBCFBE45，BCBE∴∠DBF=∠CBE∴△DBF~△CBE∴DFBD2CEBC∵AG=CE∴DFDF2AGCE变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求AH的值。CF分析：(1)连接OA,OH,OD,OG,易证：△AOH~△DOGAHDGOEOB1(2)AB,EH2△ABO~△HEO,AOBHOE,AOHBOE,又OEOHOB,OA△OBE~△OAH,AHAO5BEBO易证△BOE△COF，BECF,AH5CF

5、例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长。ACB分析：连接BE，由基本图形易得DE3可证△ACD∽△BCE，AD＝3BE，∠BAE＝90°在Rt△作，由勾股定理求得＝10ABEBE则AD＝103A3CBDE练习1.如图，点A是△内一点，AB23,BC8,ABC600，DAC1200,求BDDBC，ADAC得长。分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直

6、线AF与直线BG交于点I.(1)求证：AF⊥BG；(2)当旋转角小于90°时，求2AIBI的值；CI(3)若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.分析：（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P．（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是_________

7、__；（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．BBDDCEACAE图1分析：（1）BD＝CEBD⊥CE（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2∴CE＝BD＝AB2－AD2＝23∴CP＝23－2（3）取BC中点O，连接OA、OP∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°图2BDCAPE∴OP＝1B2BC＝22∴点P的运动路径是以O为圆心、半径为22的一段圆弧OD即△ABC外接圆的

8、一部分则∠AOP＝2∠ABPCA易知点