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1、第八讲函数的应用答案例1、解令，则＝＝。因为，则，则问题转化为求二次函数，的最值,利用图像易得:当,即时，有最小值，最小值为4.当，即时,有最大值，最大值为845.评注:通过整体换元，把复杂的形式转化为较简单的二次函数形式，从而使问题得以解决。例2、分析直接去解方程组难度较大，通过观察发现方程组的两个式子有相同的形式,则通过构造函数来完成。解原方程组可化为，设，则在上是单调递增,且是奇函数，又,则有即，所以。评注：利用函数的单调性来解方程，是竞赛中常用的解题技巧.例3、解设，则，代入原式得,即,有。考察函数，易知函数在
2、定义域范围内是减函数，又因为，所以，即，故。因此不等式的整数解为。评注:本题通过换元将原不等式转化为的形式,再通过函数的单调性求得共解。这种方法在求有关指数和对数不等式时常用。例4、分析所要证明的式子等介于证明，由此结构联想到二次函数的判别式，则构造函数，下面只要证明函数恒为非负。证明作二次函数,则由条件得：，配方得：，即有对任意的R，，所以，即。故不等式成立。评注：在证明过程中，充分体现了“1”的妙用，另外本题的配方技巧较高，望同学细细体会。例5、解设函数，则根据题意和函数的图像得：,当且仅当时取到等号。另有，当且仅
3、当时到到等号。所以的取值范围为。评注：在求范围时，我们把,，分别看作一个整体来处理,如先求的范围，再算，这样往往会把范围扩大。例6、解因为在时取得最小值，设函数。（1）由条件代入上式得，，所以。（2）由上知，则把代入条件③,得对任意实数都成立，分别令和，有，由此求得。评注：条件中,由于是一个未知的任意多项式,通常考虑的方法有两种:（1)取为一些特殊的多项式；（2）使的值为零，从而使条件中的不再发生“作用”。本题中就是令和,使条件成为与无关，从而求得。例7、解（1）由题意得，则或。即函数的不动点为－1，3。(2）要使函数
4、恒有两个相异的不动点,即满足，则，整理得对任意的恒成立。即，解得。(3）由题意设，，则，。所以直线方程为，又的中点在直线上，又由韦达定理得。即，当且仅当时取等号,即，故的最小值为.评注:本题巧妙的利用了不动点的几何性质，得到直线的方程为，再由韦达定理求出了的解析式，进而用均值不等式求出最值。例8、解设｜DA｜＝(千米），铁路每吨千米运费为3，公路每吨千米运费为5，从B到C的总运费为,则依题意得即，令，则有，两边平方整理得.由得，又因为,所以。将代入方程，解得。此时为最小，相应的也取到最小值。即D点选在距A点15千米处，
5、此时运费最少。例9、解（1)根据函数的图像得(2）设第二次服药时在第一次服药后小时,则，解得＝3（小时），因而第二次服药应在10：00。设第三次服药进在第一次服药后小时，此时血液中含药量应为两次服药后的含药量之和,即有解得＝7小时，即第三次服药应在14：00。设第四次服药时在第一次服药后小时，则此时第一次服进的药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次之和,即有解得小时，故第四次服药应在17:30.所以12小时内服药四次，时间分别为：7：00，10：00，14：00，17：30,这样疗效最佳。评注：利用函数的知识解实际
6、问题，这是一个重点，它的一般解题步骤为：①审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系;②建模将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型；③解模求解数学模型，得出数学结论；④还原将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义.例10、证明记,，则,且是偶函数，奇函数，对任意的R，,.令，，,，其中为任意整数。容易验证是偶函数，且对任意的R，，。下证对任意的R，有。当时,显然成立；当时，因为,而，故对任意的R,。下证对任意的R，有.当时，显然成立；当时,，所以，而此时，故；当时，－,故,又,从而有。于是
7、,对任意的R，有。综上所述，结论得证。1．C．解析：作出函数的草图,看直线与该图像的交点个数。确定的取值范围为。2．B．解析：令,则,把选项分别代入，易知选B。3．D．设1998年人均食品消费元，则2002年人均食品支出，则2002年人均消费支出，解得。所以。4．B．解析：因为，所以时,有最小值，当，时，有最大值7。5．B．解析:根据对数的取值范围要求，，而由等式左边又知必须满足且，从而，因此可知，所以。6．28．解析：设，则，故（为常数），则＝7．。解析：因为,所以当时取到最小。8．2998.5．易知，由于，，所以。
8、9．2006．解析：由,则，所以在时为减函数，则最大，故，即，所以。10．.解析：令，，与公共定义域为，又因为在上递增,在递减,，，当且仅当时,。11．构造函数，所以其判别式为，即，故的最大值为。12．把原方程组化为，考虑函数,容易证明函数在上是单调递增，而题中方程组所满足的条件是，则有，即。13．由条件，得,令，即（R），于是＝
