2021_2022学年高中数学第2章解三角形3解三角形的实际应用举例讲义教案北师大版必修5.doc

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1、高考§3　解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1．掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点)3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)1．通过实际问题应用举例，提升数学建模素养．2．通过解三角形的实际应用，培养数学运算素养．实际问题中的有关术语阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水

2、平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°思考：(1)方位角的X围是什么？[提示]　[0°，360°)．(2)若点B在点A的北偏东60°，则点A在点B的哪个方向？-13-/13高考[提示]　南偏西60°．(3)若从点A看点B的仰角为30°，则从点B看点A的俯角是多少度？提示：30°．1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的(　　)A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′[答案]A2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A

3、在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°[答案]B3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)A．50mB．50mC．25mD．m-13-/13高考A[由正弦定理得＝，又∵B＝30°，∴AB＝＝＝50(m)．]4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米，则塔吊的高是米．45[如图所示，设塔吊为BC，由题意可知△A

4、BC为等腰直角三角形，所以BC＝AB＝45(米)．]测距离问题【例1】　海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是．5海里[如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得＝，所以BC＝×10＝5(海里)．]求距离问题时应注意的三点-13-/13高考(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不

5、可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.1．(1)为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为m．(2)如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？(1)8(－1)[根据正弦定理得＝，所以AB＝＝＝＝8(－1)(m)，即A，B间的距离为8(－1)m．]-13

6、-/13高考(2)[解]由正弦定理得AC＝＝＝＝10(1＋)(米)，BC＝＝＝20(米)．在△ABC中，由余弦定理得AB＝＝10(米)．所以A，B两点间的距离为10米．测量高度问题【例2】　如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m．100[在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300(m)．-13-/13高考在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝

7、BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100(m)．]求解高度问题应注意的三个问题(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.2．如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠A