计算方法——-函数逼近与计算.ppt

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1、函数逼近与曲线拟合的最小二乘法8/2/202113.1函数逼近的基本概念上章讨论的插值法就是函数逼近问题的一种。我们的做法是在多项式类中寻找一个合适的多项式来代替原来的函数，使误差较小。Chapter3函数逼近用简单的函数p(x)近似地代替函数f(x)，是计算数学中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f(x)称为被逼近的函数，p(x)称为逼近函数，两者之差称为逼近的误差或余项。8/2/202123.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近如果我们把问题一般化，则可以提出如下的方法：对函数

2、类A中给定的函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使得p(x)与f(x)的误差在某种度量意义下最小。函数类B通常是区间[a,b]上的连续函数，记作C[a,b]，称为连续函数空间，而函数类B通常为n次多项式，有理函数或分段低次多项式。8/2/20213相关概念、定理的复习3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近线性无关的概念，线性空间的基，线性空间的维数，有限维线性空间、无限维线性空间。8/2/20214Weierstrass定理：设，则对任何，

3、总存在一个代数多项式，使得在上一致成立。这个定理可有多种证明方法，其中的伯恩斯坦证明是构造性的，即它给出了一个具体的函数，称为伯恩斯坦多项式。3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近8/2/202153.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近更一般地，可以用一组在上线性无关的函数集合来逼近。函数逼近问题就是对任何，在子空间中找一个元素，使在某中意义下最小。8/2/202163.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近定义1：向量范数①非负性②齐次性③三角不等式设为线性空间，，若存在唯一

4、实数，满足条件：则称为线性空间上的范数，与一起称为赋范线性空间。8/2/202173.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近常用范数例如，在上的向量，三种常用范数为：-范数1-范数2-范数8/2/20218类似地，在连续函数空间，可定义三种用的范数如下：-范数1-范数2-范数可以验证这样定义的范数满足定义的条件。3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近8/2/20219例：计算向量x＝（1－302）T的2-范数，1-范数，∞范数。3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近8/2/20

5、2110(一)一致逼近以函数f(x)和p(x)的最大误差作为度量误差f(x)-p(x)的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近8/2/202111(二)平方逼近：如果采用作为度量误差的“大小”的标准，在这种意义下的函数逼近称为平方逼近或均方逼近。3.1函数逼近的基本概念Chapter3函数逼近8/2/2021123.4曲线拟合的最小二乘法什么是插值？什么是拟合？Chapter3函数逼近8/2/202113什么是插值？什么是拟合？3.4

6、曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近8/2/202114实例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数是记录:3.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近8/2/202115纤维强度随拉伸倍数增加而增加，并且24个点大致分布在一条直线附近，因此可以认为强度y与拉伸倍数x的主要关系是线性关系：3.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近8/2/2021163.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近8/2/2021173.4曲线拟

7、合的最小二乘法Chapter3函数逼近仍然定义平方误差8/2/2021183.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近我们选取的度量标准是8/2/2021193.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近8/2/202120法方程组3.4曲线拟合的最小二乘法Chapter3函数逼近由可知因此可假设二次函数因此求最小二乘解转化为8/2/202121Chapter3函数逼近由多元函数取极值的必要条件得即3.4曲线拟合的最小二乘法8/2/202122Chapter3函数逼近即3.4曲线拟合的最小二乘

8、法8/2/202123Chapter3函数逼近引入记号则由内积的概念可知显然内积满足交换律3.4曲线拟合的最小二乘法8/2/202124Chapter3函数逼近将其表示成矩阵形式3.4曲线拟合的最小二乘法8/2/202125Chapter3函数逼近并且其系数矩阵为对称阵。所以法方程组的系数矩阵非奇异,即根据Cramer法则,法方程组有唯一解：3.4曲线拟合的最小二乘法8/2/202126Chapter3函数逼近即是的最小值。所以因此误差平方