数值计算方法考博复习1误差 函数的插值与逼近

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1、数值计算方法考博复习资料(1)第一章数值计算方法的一般概念【概念整理】一、误差的有关概念1.截断误差：截取有限项得出之和近似无穷级数之和时所具有的误差。2.舍入误差：四舍五入而产生的误差。3.绝对误差：设为准确值，是的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。4.绝对误差限：，称为近似值的绝对误差限。5.相对误差：，实际计算中，准确值不能得到，一般当很小时，可取作为的相对误差。6.相对误差限:7.有效数字：设实数的一个近似值为其中每个是中的一个数字，，如果的绝对误差不超过末位的半个单位，即：，则称用近似时具有位有效数字。二、算法的数值稳定性算法

2、稳定的必要条件是：假设原始数据有误差，而且算法执行过程中的一切误差都是由引起的，设结果的误差为，那么稳定的算法应满足“当相对于原始数据不太大时，相对于结果也不太大”。设给定的算法在执行某一步时产生一个误差，相继的步运算之后的误差为，且仅是由引起。如果，是与无关的常数，则称误差的增长是线性级的。如果，是常数，则称误差的增长是指数级的。一般结论：误差线性增长的算法是数值稳定的，误差指数级增长的算法是数值不稳定的。三、算法的收敛性与收敛速度所谓关于给定计算问题的一个近似算法是收敛的，无非是说由该算法能产生近似解的一个无穷集合，这个集合按某种选定的距离能

3、逼近准确解到任意的程度，即对任给的，都能从集合中找到与准确解的距离小于的近似解。大多数近似算法按产生近似解得方式可以分为两大类，第一类如函数的插值与逼近，数值积分及常微分方程数值解得算法，常可以通过截断误差(余项)的先验估计，直接提供一个符合要求的近似解；第二类是数值代数以及非线性方程组数值解的迭代算法，对于它们是通过产生收敛到准确解的序列来获得足够准确的近似解。关于收敛的性态，对第一类算法主要比较截断误差的大小以及计算复杂性的好坏，通常依截断误差大小论精度作评价；对第二类算法则主要比较近似解序列收敛速度的好环及计算复杂性的好坏，通常按照收敛速度

4、快慢分等级作评价。设数列收敛于数，另有数列收敛于0，且，令如果无极限，但存在自然数使得 或者有极限，且其中是一个确定的数，则称收敛于且具有收敛速度，记作或者，特别，若有常数，使得则称是阶收敛的。2阶收敛也称平方收敛，并统称阶收敛为超线性收敛。一、算法设计应遵循的若干原则(1)避免用绝对值很小的数做除法。(白皮书上没有，但考到了)(2)避免两个相近数相减，以免有效数字损失。(3)注意运算次序，防止大数"吃掉"小数，如多个数相加减，应按绝对值由小到大的次序运算。(4)简化计算步骤，尽量减少运算次数.【白皮书例题】例题1-1如的近似值取由于则具有5位有

5、效数字；取，由于，则具有4位有效数字。例题1-2设递推公式实际计算时用来代替。考察计算的算法稳定性。解：设，以此类推误差增长为线性级，因此的递推公式是数值稳定的。例题1-3对于积分可建立下面的递推关系：，考察计算的算法稳定性。解：假设求出的的近似值为，令以此类推误差增长是指数级的，因此该递推算法数值不稳定。例题1-4考虑数列和分别收敛于0和1，分析其收敛速度。解：引入数列和均收敛于0因此，因此，【白皮书习题】1.1准确值，近似值，试回答(1)的绝对误差  (2)的相对误差(3)有几位有效数字。解：绝对误差：相对误差：有效数字：近似值，，因此有3位

6、有效数字。1.2考虑数列设，则用递推公式则可以生成上述序列，试问计算的上述公式是稳定的吗？解：设以此类推因为，所以该算法是数值稳定的。1.3若取则用递推公式也可以生成1.2中的数值序列，考察计算的算法稳定性。解：令由此类推该算法数值不稳定。1.4试证明，对于任意给定的，由递推公式产生的正数序列是平方收敛的。证明：令  收敛于2因此该正数序列是平方收敛的。该问题中涉及的一个重要定理：设迭代过程收敛于方程的根，若迭代误差，当时成立，则称该迭代过程阶收敛，线性收敛；超线性收敛，平方收敛【考博真题】1.填空题：对任意给定的的，由递推公式产生的正数序列收敛

7、的阶数为平方收敛。(详见例1.4)[08一期]2.选择题：避免误差危害的若干原则中不包含[B]A.避免两相近数相减B.避免求解病态方程组C.避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法D.要防止大数“吃掉”小数第一章函数的插值与逼近PARTA函数的插值【概念整理】一、Lagrange插值多项式插值的存在唯一性，即Lagrange和Newton插值最后的结果相同也可以用Vandermonde矩阵直接求解-单项式插值其中插值基函数余项：引入记号有则如果求出则线性插值余项：二次插值余项：Lagrange插值基函数的性质：      当时，二、Newton插

8、值Newton插值基函数插值函数，其插值条件为由于Newton插值的基底不受所有节点的制约，所以增加一个节点，只要增加一个基函数即可，且