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时间:2021-03-29
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1、§1.2数集·确界原理一、区间与邻域二、上确界、下确界1河西学院院数学系二有界集·确界原理1有(无)界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界例1证明集合是无界数集.证明:由无界集定义,E为无界集.2确界:直观定义:若数集S有上界,则它有无穷多个上界,其中最小的一个上界称为数集S的上确界,同样,有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界,MM2M1上确界上界m2mm1下确界下界确界的精确定义3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.
2、以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系:设E为数集.⑴E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.⑶若存在,必有对下确界有类似的结论.§2.1数列极限的概念§2.2收敛数列的性质§2.3数列极限存在的条件数列极限的精确定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式
3、xna
4、5、没有极限0,NN当nN时有6、xna7、.极限定义的简记形式几何解释:注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义,它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质,用8、xn-a9、<ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标志着“要多小”的要求,用n>N表示n充分大。这个定义有三个要素:10,正数ε,20,正数N,30,不等式10、xn-a11、<ε(n>N)②定义中的ε具有二重性:一是ε的任意性,二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程(这个无限过程通过ε的任意性来12、实现),但这个无限过程又要一步步地实现,而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现)。这个定义有三个要素:10,正数ε,20,正数N,30,不等式13、xn-a14、<ε(n>N)③定义中的N是一个特定的项数,与给定的ε有关。重要的是它的存在性,它是在ε相对固定后才能确定的,且由15、xn-a16、<ε来选定,一般说来,ε越小,N越大,但须注意,对于一个固定的ε,合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时,关键在于设法由给定的ε,求出一个相应的N,使当n>N时,不等式17、xn-a18、<ε成19、立。在证明极限时ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示20、xn-a21、<εn>N④定义中的不等式22、xn-a23、<ε(n>N)是指下面一串不等式都成立,而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内,同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。OK!N找到了!!n>N目的:NO,有些点在条形域外面!●●24、●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小,N越来越大!数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意:分析:例1证明0,NN当nN时有25、xna26、.利用定义验证数列极限,有时遇到的不等式27、xn-a28、<ε不易考虑,往往采用把29、xn-a30、放大的方法。若能放大到较简单的式子,就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则:①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n>N时,有例4.证明K为正实数证:由于所以对任意ε>0,取N31、=当n>N时,便有:知识点回顾习题解答函数极限习题课
5、没有极限0,NN当nN时有
6、xna
7、.极限定义的简记形式几何解释:注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义,它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质,用
8、xn-a
9、<ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小,即任给ε>0标志着“要多小”的要求,用n>N表示n充分大。这个定义有三个要素:10,正数ε,20,正数N,30,不等式
10、xn-a
11、<ε(n>N)②定义中的ε具有二重性:一是ε的任意性,二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程(这个无限过程通过ε的任意性来
12、实现),但这个无限过程又要一步步地实现,而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过ε的相对固定性来实现)。这个定义有三个要素:10,正数ε,20,正数N,30,不等式
13、xn-a
14、<ε(n>N)③定义中的N是一个特定的项数,与给定的ε有关。重要的是它的存在性,它是在ε相对固定后才能确定的,且由
15、xn-a
16、<ε来选定,一般说来,ε越小,N越大,但须注意,对于一个固定的ε,合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时,关键在于设法由给定的ε,求出一个相应的N,使当n>N时,不等式
17、xn-a
18、<ε成
19、立。在证明极限时ε,n,N之间的逻辑关系如下图所示
20、xn-a
21、<εn>N④定义中的不等式
22、xn-a
23、<ε(n>N)是指下面一串不等式都成立,而对则不要求它们一定成立数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点a的任意小邻域内,同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。OK!N找到了!!n>N目的:NO,有些点在条形域外面!●●
24、●●●●●●●●●●●●●●●●数列极限的演示N数列极限的演示e越来越小,N越来越大!数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意:分析:例1证明0,NN当nN时有
25、xna
26、.利用定义验证数列极限,有时遇到的不等式
27、xn-a
28、<ε不易考虑,往往采用把
29、xn-a
30、放大的方法。若能放大到较简单的式子,就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则:①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明证明则当n>N时,有例4.证明K为正实数证:由于所以对任意ε>0,取N
31、=当n>N时,便有:知识点回顾习题解答函数极限习题课
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