行列式的性质及计算.ppt

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1、第一章矩阵§1.6方阵的行列式二.行列式的性质性质1.互换行列式中的两列,行列式变号.推论.若行列式D中有两列完全相同,则D=0.性质2.(线性性质)(1)det(1,…,kj,…,n)=kdet(1,…,j,…,n);(2)det(1,…,j+j,…,n)=det(1,…,j,…,n)+det(1,…,j,…,n).第一章矩阵§1.6方阵的行列式推论.若行列式D中有两列元素成比例,则D=0.a11…a1i…ka1i…a1na21…a2i…ka2i…a2n…………………an1…ani…kani…ann=k0=0.=ka11…a1i…a

2、1i…a1na21…a2i…a2i…a2n…………………an1…ani…ani…ann第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质3.把行列式的某一列的k倍加到另一列上去,行列式的值不变.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1na21…(a2i+ka2j)…a2j…a2n…………………an1…(ani+kanj)…anj…ann=a11…a1i…a1j…a1na21…a2i…a2j…a2n…………………an1…ani…anj…ann+a11…ka1j…a1j…a1na21…ka2j…a2j…a2n…………………an1…kanj…anj…ann第一章矩阵§1.6方阵的行列式例

3、2.设D=a11…a1mam1…ammD1=……,证明:D=D1D2.证明:对D1施行ci+kcj这类运算,把D1化为下三角形行列式:=p11pm1…pmm…...=p11…pmm,b11…b1nbn1…bnnD2=,……a11…a1m0…0……………………,am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnna11…a1mam1…ammD1=……第一章矩阵§1.6方阵的行列式对D2施行ci+kcj这类运算,把D2化为下三角形行列式:b11…b1nbn1…bnnD2=……=q11qn1…qnn…...=q11…qnn,于是对D的前m列施行上述c

4、i+kcj运算,再对D的后n列施行上述施行ci+kcj运算,可得:=p11…pmmq11…qnn=D1D2.a11…a1m0…0……………………D=am1…amm0…0c11…c1mb11…b1ncn1…cnmbn1…bnn.p11pm1…pmm…………=..0dn1…dnmqn1…qnnd11…d1mq11...第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质4.设A,B为同阶方阵,则

5、AB

6、=

7、A

8、

9、B

10、.性质5.

11、AT

12、=

13、A

14、.注:根据方阵的性质5,前面几条关于列的性质可以翻译到行的情形.例如:性质1’.互换行列式中的两行,行列式变号.A.L.Cauchy[法](1789

15、.8.21~1857.5.23)第一章矩阵§1.6方阵的行列式例2.求4阶行列式20-3013-12012-12214D4=第一章矩阵§1.6方阵的行列式定理1.7.n阶行列式D等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.即D=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n=…=an1An1+an2An2+…+annAnn=a11A11+a21A21+…+an1An1=a12A12+a22A22+…+an2An2=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.前面我们得到,a11a12a13a21a2

16、2a23a31a32a33=a31A31+a32A32+a33A33.下面来看a11A31+a12A32+a13A33=?a11A31+a12A32+a13A33=a11a12a13a21a22a23a11a12a13=0.容易看出第一章矩阵§1.6方阵的行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式性质6.ai1Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(ij)a1iA1j+a2iA2j+…+aniAnj=0(ij).定理1.8.设D=

17、[aij]

18、,则aikAjk=Dij,k=1nakiAkj=Dij.k=1n注:克罗内克记号ij=1,i=j,0,ij.L.

19、Kronecker[德](1823.12.7~1891.12.29)第一章矩阵§1.6方阵的行列式例3.设413-2333-6-1207129-2

20、A

21、=,不计算A4i而直接证明A41+A42+A43=2A44.第一章矩阵§1.6方阵的行列式三.行列式的计算1.二,三阶行列式—对角线法则.2.利用初等变换化为三角形.(其中n2,xa).Dn=xa…aax…a………aa…x例4.计算n阶行列式第一章矩阵§1.6方阵的行列式Dn=xa…aax…a………aa…xx+(n1)aa…ax+(n1)ax…a………x+(n1)aa…x=解