2011年2-11导数的应用.ppt

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1、了解函数单调性和导数的关系/能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间/了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件/会用导数求函数的极大值、极小值/会求闭区间上函数的最大值、最小值/会利用导数解决某些实际问题2.11导数的应用1．函数在某区间上单调的充分条件一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′＞0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′＜0，那么函数y＝f(x)为这个区间内的减函数．2．极大值一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(

2、x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．3．极小值一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．4．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个开区间，并列成表格检查．f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果

3、左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．5．利用导数求函数的最值步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在[a，b]上的最值．1．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)解析：(x－1)f′(x)≥0，或①函数y＝f(x)在(－∞，1]上单调递减，f(0)>f(1)；在[1，＋∞)上单调递增，f(2)>f(1)，∴f(0)＋f(

4、2)>2f(1)．②函数y＝f(x)可为常数函数，f(0)＋f(2)＝2f(1)．故选C项．答案：C2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2，选C项．答案：C3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：f′(x)>0单调递增，f(x)′<0

5、单调递减．f′(x)＝0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由题中图象可知只有1个极小值点．答案：A4．(2010·开封高三月考)函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如右图，则等于()解析：由题图可知f(－1)＝f(0)＝f(2)＝0，解得：b＝－1，c＝－2，d＝0，则f′(x)＝3x2－2x－2，则答案：C此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现．应注意函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导，则f′(x)＞0是函数y＝f(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要条件．【

6、例1】设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)都是增函数，求a的取值范围．解答：f′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)，其判别式Δ＝4a2－12a2＋12＝12－8a2.(1)若Δ＝12－8a2＝0，即a＝±.当x∈(－∞，)或x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．所以a＝±.(2)若Δ＝12－8a2<0，恒有f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)为增函数．(3)若Δ＝12－8a2>0，即，令f′(x)＝0，解得当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当

7、x∈(x1，x2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数．依题意x1≥0且x2≤1.由x1≥0得从而a∈[1，)．综上，a的取值范围为变式1.设x＝1和x＝2是函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)求f(x)的单调区间．解答：(1)∵f′(x)＝5x4＋3ax2＋b，由假设知：f′(1)＝5＋3a＋b＝0f′(2)＝24×5＋22×3a＋b＝0，解得a＝，b＝20.(2)由(1)知f′(x)＝5x4＋3ax2＋b＝5(x2－1)(x2－4)＝5(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(2，＋