教案 圆锥曲线的实际应用

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1、【教学过程】一、引入前面我们一起学习了三种圆锥曲线，掌握了它们的各种几何性质，那么它们在实际生活中究竟有哪些应用呢？二、概念分析1抛物线光学性质的应用·图14-18能反射光线的镜面的纵剖面是一条抛物线，它有一个特性：从置放在抛物线焦点的点光源发出的光线，经抛物线反射后的光线都是平行的；反之，入射的平行光线经抛物线反射后的光线都经过焦点(如图14-18)．这种性质在光学上叫做聚焦性质．抛物线的这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等的反射镜面，像碗碟一样卫星通讯接收或发射天线以及太阳能热水器等，都是利用

2、这个聚能特性设计的．例1某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图14-19(1)，其中F为加热点；碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线的设计尺寸如图14-19(2)(单位cm)．为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？(精确到0.1cm)F图14-19(1)图14-19(2)8540xy5O解以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标系如图14-19(2)，则内壁抛物线方程为y2=2px．据所示尺寸，抛物线过坐标为(40，85)的点，所以852=2p×40=80p，p»90.3．加热点F应置于抛物线

3、的焦点，而焦点坐标为(45.2，0)，所以F应距碟底约45.2cm．2圆锥曲线在建筑中的应用第4页共4页圆锥曲线除了有较好的光学性质，而且还具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不乏应用。图14-20(1)27121455例2以石油作为主要原料的合成化工厂的巨大反应塔或燃油发电厂的大型通风冷却塔等，因塔身巨大，为减小建筑成本和自重，需要将其设计成所谓等压力体，即塔身每点处承受相同的压力．经力学分析发现，以纵剖线近似为双曲线的塔身(也即塔的外形是双曲线的一段绕虚轴旋转所得到的曲面)能满足要求．现有一如图14-20(1)所示等压力结构的

4、反应塔，其高为55m，塔的底部直径为27m，上口直径为14m，最细的腰部直径为12m，请据此算出它的外形是怎样的双曲线的一段绕虚轴旋转得到的．图14-20(2)67Oxy13.5···55CBA解在纵的总剖面上，以旋转轴为y轴，旋转轴与腰部最细处的横截面的交点为原点，建立如图14-20(2)所示的坐标系，则塔身在此面上成为实轴在x轴上的双曲线的一段．用C、A、B三点分别表示塔底部、腰部、上口部，易知它们的坐标分别为A(6，0)，B(7，yB)，C(13.5，yC)，其中C、B的纵坐标还满足yB=55+yC．设双曲线的方程为=1．因为A

5、是双曲线的顶点，所以a=6．又因为B、C在双曲线上，所以=1，(1)=1．(2)由(1)解出b2=(55+yC)2，由(2)解出b2=；由此得到(yC+55)2=．化简，并取两位小数，得到yC的方程：+120.73yC+3320.12=0，解出yC=(-120.73±35.99)．因为yB=55+yC>0，因此应取正号，所以yC»-42.37；第4页共4页b2=(-42.37)2，b»21.02，yB=55-42.37=12.63．所以塔身系上述坐标系中方程似为=1的双曲线上在点B(7，12.63)、C(13.5，-42.37)之间的

6、一段绕y轴旋转而得．3圆锥曲线与天文计算圆锥曲线除了以上两个实际应用外，在太阳系中天体运动轨道几乎都是圆锥曲线，古代人们为了占卜及预报日食、月食等需要，对圆锥曲线作了大量研究，不但使圆锥曲线成为最早认识的非圆曲线，也促进了数学本身的发展．人造地球卫星的轨道也是椭圆，人们在设定了一定的轨道参数之后，就能控制和预报卫星的运行轨道．xyO·AC图14-22B···例8我国发射的一颗通讯地球卫星的运行轨道，是以地心C为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为439km，远地点 B距地面为2384km，且A、C、B在同一直线上．地球半径为6371km，

7、求卫星的运行轨道方程．(精确到1km)解以AB为x轴，AB的中点为原点建立如图14-22所示的直角坐标系．设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a-c=CA=6371+439=6810，a+c=BC=6371+2384=8755，解得a=7782.5，c=972.5，b=»7721.5．所以椭圆轨道近似为=1．F图14-23(1)图14-23(2)90285课内练习1.碟形卫星通讯天线的外形示意图如图14-23(1)，碟形反射壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物线以厘米为单位的设计尺寸如图14-23(2)所示．第4页共4

8、页为了达到最佳接收效果，应把接收器F置于距碟底多少厘米的地方？【小结】课堂小结：求直线与圆锥曲线的交点，就是要求由一个二元二次方程和一个二元一次方程联立的方程组的解．若有两解，则直线与圆锥曲线相交．若有一解，则在椭圆情况