圆锥曲线的实际应用

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1、圆锥曲线的实际应用授课人：胡亚平教学目标：1.使学生掌握圆锥曲线的定义、性质及标准方程，并能利用圆锥曲线的有关知识解决相关的实际问题；2.初步掌握利用数学模型解决实际问题的方法步骤；3.培养学生分析问题、解决问题的能力；向学生渗透分类讨论及数形结合的思想；通过理论联系实际，提高学生的应用意识和环保意识，对学生进行爱国主义教育。教学重点：1.如何将实际问题转化为数学问题；2.利用圆锥曲线的有关知识解决实际问题。教学难点：1.如何将实际问题转化为数学问题；2.如何建立圆锥曲线模型。教学用具：实物投影仪、计算机教学过程：一.复习1J员I锥曲线的第一定义？椭圆：

2、PF1

3、+

4、

5、PF2

6、=2a（＞

7、F1F2

8、）双曲线:

9、

10、PFi

11、-

12、PF2

13、

14、=2a（＜

15、FiF2

16、）抛物线：

17、PF

18、=d（常数）2.圆锥曲线的第二定义？二.新课［问题一］背景材料：（略）引入实际问题：为了保护和改善生态环境，某公司要在大西北荒漠开垦出一个平行四边形区域建成一个农艺园（实验区），划以相距6千米的A，B两地为这个平行四边形一组相的顶点。由于新建农艺园（实验区）的脆弱，必须有较的防护围墙以抵御风沙。按照规划，可提供的围墙总长20千米。请你担任设计师，指出这个平行四边形区域另两个顶可选择的位置？分析实际问题：展示学生的设计方案并让学生对问题进行分析:由问题中’’以A

19、，B为对角线和围墙总长为20千米’’的含义，进一步得到:A，B为定点，另外两顶点的位置是变化的，但这两个点在运动的过程中，AAMB的周长是常数，这与椭圆的定义吻合，从而抽象出椭圆这个数学模型。在平行四边形形状不同的情况下，农艺园的占地面积是否一样呢？并提出问题：你能否帮助给出一个最优的设计方案？解决实际问题：［解法一h由题意可知平行四边形另外两个顶点在以A、B为焦点的椭圆上。以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)，则可设椭圆的方程为~+4=1，其中a=5，c=3，b=V“2-c1=4,erIr•••S=2x

20、(

21、AB

22、•

23、yc

24、)

25、<2x

26、(6x4)=24.•.当c为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大。［解法二］:设ZAMB=0(0<沒<兀)，

27、MA

28、=m,

29、MB

30、=n根据题意有:m+n=10，S=-mn>sin<9,2由余弦定理cOs#m2+/22-36=(m+")2-2m"-362mn2mn_100-2mn-36_32-mn2mnmn...S=2x-mn•sin3=mnVl-cos23=mnl-戸2-醐)22Vmn=V64z??/7-322<］64(,7丁、2-322=^64(^)2-322=24当且仅当取“=”，即M在短轴端点时农艺园的面积最大。［小结］通过这个实际问题的解决可以看出：解决

31、实际问题首先要准确理解题意，进而建立量与量的关系，进一步正确地解决实际问题。解决实际问题的方法步骤为：审题：读出关键性语句所蕴涵的数学信息，分淸变量与不变量。建模：寻求量与量的关系或者变量的变化规律，建立数学关系式即数学模型。这个实际问题的解决根据了动点的变化特点，建立了椭圆的数学模型。解决数学问题：利用数学知识，通过推理，求解，正确得出数学上的结论。回归实际问题：通过分析数学结论，得出实际问题的解答。［问题二］背景材料提出实际问题：某城市为了处理城市生活垃圾，要在市郊挖一个横断而为半圆的柱形的坑对垃圾作卫生填埋之用，由于条件的限制，挖出的土只能沿道路AP、BP运到

32、P处。已知PA=5Km，PB=1OKm,ZAPB=工，试说明怎样运土才能最省3工？分析实际问题：1.最省工的含义是什么？用什么景来刻画？时间或当速度一定时也可以用路程来描述。3V2且y>0解决实际问题的步骤：例1(过程)例2(过程)1.半圆中的点M可分为三类(分类思想的渗透)(1)沿AP、BP到P距离相等：

33、MA

34、+5=

35、MB

36、+10,即

37、MA

38、-

39、MB

40、=5(2)沿BP到P较近：

41、MA

42、+5〉

43、MB

44、+10,即

45、MA

46、-

47、MB

48、>5(3)沿AP到P较近:

49、MA

50、+5<

51、MB

52、+10,即

53、MA

54、-

55、MB

56、<5解决实际问题：解：设M沿AP、BP到P同样近，据题意

57、MA

58、

59、+5=

60、MB

61、+10从而

62、MA

63、-

64、MB

65、=5根据双曲线第一定义，点M在以A,B为焦点的双曲线右支上在AAPB中，由余弦定理

66、AB

67、2=52+102-2X5X10cos60°=75/.

68、AB

69、=5^3以线段AB所在直线为x轴，AB的中乖线为Y轴，建立直角坐标系。设M所在双曲线方程为4-<=1cr根据已知有2a=5,2c=5V3/.b=7c2-a2-2550=I44域最优化这个实际问题，充分体现了“任何事物都是矛盾的统一体”。2.通过这个实际问题的解决过程也可以看到：我们在解决实际问题中存时需要“猜想---严谨证明”，正如中顿所说的“没有大胆的猜想就没有伟大的发