抽象函数不抽象.doc

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1、抽象函数不“抽象”襄樊第二十四中学任颖君襄樊四中魏荣举[导读]抽象函数是指没有给出具体的函数表达式的函数摘要：抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，由于其解析式隐含不露而高度抽象，加之其与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，所以问题类型众多，解题方法复杂多变。关键词：抽象函数；赋值；化归抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数，由于其解析式隐含不露而高度抽象，解决此类问题时往往很棘手。下面我们通过几道题目的解析以获得一些具体的解题策略。题1：设f

2、(x)定义在R上且对任意的x有f(x)=f(x+1)-f(x+2),则它的一个周期为_____.[解析]：将x换成x+1得f(x+1)=f(x+2)-f(x+3),两式相加得f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),即f(x)的一个周期为6.[评注]这里使用的便是“赋值”的策略，通过恰当的赋值使得函数的周期性逐步凸显出来。下面我们再来看一道题目：已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当x1、x2是定义域中的数时，有f(x1-x2)=;②f(a)=-1,(a>0,a是

3、定义域中的一个数)③当0

4、x2+x=t，则f(t)=t,由题意得t是唯一的。又f(t)-t2+t=t,解之得t=0或1，经检验t=0不合题意，故t=1，即f(x)=x2—x+1.[评注]该题的抽象性是很强的，破解的关键是方程有且仅有一个实根，可考虑通过换元进行问题的转化，再通过赋值解之。下面我们再来看一道题目：已知函数f（x）在R上有意义，对任意实数a>0和任意实数x都有f(ax)=af(x),试求函数f（x）的解析式。[解析]：令x=1得f(a)=af(1),再令x=-1的f(-a)=af(-1),令x=0得f(0)=

5、0,下记f(1)=k,f(-1)=h,则.反思：通过对上述两题的处理，我们对求解析式的题目有了一定的了解，这里的关键就是变量的可变性。题3：已知定义域为R的函数f（x）满足：（1）值域为（-1,1），且当x>0时，-1g().[解析]：(1)先证明函数为奇函数：令m=n=0得f(0)=0,再令m+n

6、=0得f(-m)=-f(m),即证。设x1

7、)-g()>g()显然成立，即证。[评注]：该题的条件与结论之间距离较大，我们通过对结论的分析转化为对条件的挖掘，使命题者的意图逐步显现出来，从而找到解题的路径。下面我们再来看一道题目：已知函数f(x)（x∈R）满足对任意实数x1，x2都有，其中是大于0的常数，设实数a0,a,b满足f(a0)=0和b=a-f(a).试证明：(1)≤1并且不存在b0≠a0满足f(b0)=0;（2）；（3）.证明：（1）由已知得，故≤1。下用反证法。假设存在b0≠a0满足f(b0)=0，则与性质矛盾。（令x1=b0

8、,x2=a0易得），即证.（2）注意到=-2（a-a0）f(a)+=-2（a-a0）[f(a)-f(a0)]+≤-2+=(1-),即证.（3）考虑==+2f(a)[f(b)-f(a)]+=+2[f(b)-f(a)]+≤=,即证.通过以上题目的学习，我们对抽象函数的问题有了初步的了解。其实，抽象函数也是函数，适合函数的方法也普遍适用于抽象函数。只要我们认真审题，冷静分析，还是可以从题目的题设条件或者结论中找出关键点，进而找到切入点，一举而攻之。参考文献：1，《解抽象函数问题的常用策略》张传鹏2，《