第4讲转化与化归思想.ppt

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1、第4讲转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

2、1.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.（3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.（4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决

3、，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径.（4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.（5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.（6）构造法：“构造”一

4、个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（7）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.（8）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定.（9）参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.（10）补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集UA获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.3.转化与化归的指导思想（1）把什么问题进行转化，即化归对象.（2）化归到何处去，即化归目标.（3）如何进行化归，即化归方法.

5、化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.一、常量与变量的转化与化归例1设f（x）是定义在R上的单调增函数，若f（1-ax-x2）≤f（2-a）对任意a∈［-1，1］恒成立，求x的取值范围.思维启迪本题为抽象函数的单调性的应用问题，应转化为大家熟悉的一元二次不等式（或一元一次不等式来解决）.解因为f(x)是R上的增函数，所以1-ax-x2≤2-a，a∈［-1，1］.（*）方法一（*）式可化为：a(1-x)≤x2+1.①（1）当1-x>0时，①式变为对任意a∈［-1，1］恒成立，只要∴0≤x＜1或x≤-1.（2）当1-x＜0，①式变为：对任

6、意a∈［-1，1］恒成立，只要∴x>1.（3）当1-x=0,①式显然成立.综上所述，实数x的取值范围是：x≤-1或x≥0.方法二（*）式可化为：a(x-1)+x2+1≥0,对a∈［-1，1］恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.则当且仅当解之，得x≥0或x≤-1.即实数x的取值范围是x≤-1或x≥0.探究提高通过以上两种方法的比较可以看出，若按常规方法求解，问题较麻烦；若将变量与参数变更关系，a为主元，转换思考的角度，使解答变得容易.这种处理问题的思想即为转化与化归的思想.变式训练1设y=(log2x)2+(t-2)lo

7、g2x-t+1,若t在［-2，2］上变化时,y恒取正值,求x的取值范围.解设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,则f(t)是一次函数，当t∈［-2，2］时，f(t)>0恒成立.则由解得log2x＜-1或log2x＞3,∴x的取值范围是二、正难则反的转化与化归例2已知三条抛物线：y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴相交，求实数a的取值范围.思维启迪三条抛物线中至少有一条与x轴相交的情况比较多，反面为三条抛物线与x轴都不相交，只有一种情况.解令y

8、=0，由解得∴满足题意的a的取值范围是探究提高本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪言，但从其反面“三条抛物线都不与x轴相交”着手，求